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応用分野: 対数の導関数(微分)指数関数の底の変換の仕方対数の積分指数と対数の関係式

対数関数

 とするとき, の関数

    

 を底とする対数関数という.

である任意の  に対して  の値が定まるので,  は の関数である 対数の定義参照)

■対数関数  のグラフ

対数の定義より,

 

の関係が成り立つから,点が対数関数  のグラフ上にあれば, 座標と 座標を入れ替えた点  は指数関数 のグラフ上にある.点と点  は, 座標と 座標が入れ替わった関係であるので,直線y =x  に関して対称である.右図参照.

したがって,

対数関数  のグラフと指数関数 のグラフは,直線y =x  に関して対称の関係

(言い方を替えると逆関数の関係)

である.

■対数関数の性質

 の場合   の場合 
 
 

 の値が増加すれば,   の値も増加する 単調増加である(単調増加関数).

すなわち,

 

(大小関係はかわらない)

 の値が増加すれば,   の値は減少する 単調減少である(単調減少関数). 

すなわち,

 

(大小関係は逆になる)

定義域:正の実数全体 , 値域:実数全体

グラフは点 を通り, 軸が漸近線である.


 は単調増加あるいは単調減少するので, と は1対1の関係であることによる. )

 と  は  軸に対して対称である.

具体的な対数関数のグラフを示す.

 

 

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初版:2005年2月3日,最終更新日: 2007年4月12日

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