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応用分野: 指数計算の基本指数が実数の場合指数計算の手順指数が負の有理数の場合指数が正の有理数の場合指数が0,負の整数の場合指数が負の整数の場合指数が0の場合指数が正の整数の場合累乗
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指数が有理数の場合(指数を整数から有理数に拡張)

a>0 m n は正の整数とする.また, r を正の有理数とする.このとき

正の有理数 m n  を指数とする場合

a m n = a m n  累乗根を参照

言い換えると a の  m n  乗は  a の m 乗の  n 乗根

負の有理数-r が指数となる場合

a r = 1 a r

と定める.  

具体例として

2 5 3 = 2 5 3 81 4 = 3 4 4 = 3 4 4 = 3 1 =3

3 1.5 = 3 3 2 = 1 3 3 2 = 1 3 3 = 1 3 3

このように定めると, a の n 乗 a n  の指数 n が有理数の場合でも,指数法則が成り立つ.ただし,底の条件はa0 b0 からa>0 b>0 に変わる(累乗根のn が偶数の場合を参照).

指数法則

a>0 b>0 r s  は有理数とするとき

  • a r · a s = a r+s
  • ( a r ) s = a rs
  • ( ab ) r = a r b r
  • a r a s = a rs
  • ( a b ) r = a r b r

具体的な計算例

2 1.5  と 2 2.5  の積を考える.

2 1.5 = 2 3 2 = 1 2 3 2 = 1 2 3 = 1 2 2  

2 2.5 = 2 5 2 = 2 5 = 2 2 2 =4 2  

よって

2 1.5 × 2 2.5 = 1 2 2 ×4 2 =2  

一方,指数法則を使って計算すると

2 1.5 × 2 2.5 = 2 1.5+2.5 = 2 1 =2  

となり,結果は一致する.


■参考

    指数が[1]正の整数の場合,[2]0,負の整数の場合,[3]有理数の場合,[4]実数の場合


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最終更新日: 2023年7月28日

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