因数分解の公式 (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

因数分解の公式 (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

x 3 + y 3 + z 3 3xyz

x に着目し,降べき順に式を整理する.

x 3 + y 3 + z 3 3xyz

= x 3 3xyz+ y 3 + z 3

= x 3 3xyz+( y+z )( y 2 yz+ z 2 )

f( x )= x 3 3xyz+( y+z )( y 2 yz+ z 2 )

f( x )=0 となる x の値は,式の対称性を考えると x=( y+z ) が候補にあがる.

f( ( y+z ) ) = { ( y+z ) } 3 3yz{ ( y+z ) }+( y+z )( y 2 yz+ z 2 )

=( y+z ){ y 2 2yz z 2 +3yz+ y 2 yz+ z 2 }

=( y+z )·0

=0

よって, f( x ) ( x+y+z ) 因数に持つ.

x 2 + y+z x+ y 2 yz+ z 2 x+y+z) x 3 3yzx+ y 3 + z 3 ¯ x 3 y+z x 2 y+z x 2 3yzx+ y 3 + z 3 ¯ y+z x 2 y+z 2 x y 2 yz+ z 2 x+ y 3 + z 3 ¯ y 2 yz+ z 2 x+ y 3 + z 3 0 ¯

したがって

f( x ) =( x+y+z ){ x 2 ( y+z )x+( y 2 yz+ z 2 ) }

=( x+y+z )( x 2 + y 2 + z 2 xyyzzx )

 

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最終更新日: 2023年7月14日