剰余定理
KIT数学ナビゲーション
 

剰余定理

整式 F(x) xα で割ったときの余りを r とすると

F(α)=r

となる.余りは除数よりも次数が低くなるので, r  は x  を含まない.

言い換えると,整式 F(x) xa で割ったときの余り F(a) と等しくなる.

■解説

整式 F(x) xα で割ったときの商を Q(x) ,余りを r  とすると

F(x)=( xα )Q(x)+r

と表すことができる.この整式 F(x) x  に α を代入すると,

F(α)=( αα )Q(α)+r=r

となり,剰余定理が導かれる.

具体的な例で確かめて見よう.

F(x)=2 x 2 3x+1 x2 で割ったときの商と余りを求めてみる.

2 x + 1 x 2 ) 2 x 2 3 x + 1 ¯ 2 x 2 4 x ¯ x + 1 x 2 ¯ 3  

2 x 2 3x+1=( x2 )( 2x+1 )+3  

商: Q(x)=2x+1 ,余り: r=3  となりました.

一方,  

F(2)=2· 2 2 3·2+1=3  

となり,剰余の定理通りになっていることが確かめられました. 

 

ホーム>>カテゴリー別分類>>数と式>>整式:剰余定理 

 

最終更新日: 2013年10月3日

[ページトップ] 金沢工業大学