2重根号のはずし方
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2重根号のはずし方

2重根号をはずすときに用いる式

  • a>0,b>0 のとき, a+b+2 ab = a + b

  • a>b>0 のとき, a+b2 ab = a b  

■式の導出

a + b 2乗すると, 

( a + b ) 2

= ( a ) 2 + 2 a b + ( b ) 2

= a + 2 a b + b

= a + b + 2 a b

すなわち,

( a + b ) 2 =a+b+2 ab  

となる.次に,両辺の2乗根をとると,

a + b = a + b + 2 a b

  (∵ a + b > 0 )

となり,上式が得られる.

a+b2 ab = a b  は a b >0 に注意して同様に計算すればよい.

■事例

5+2 6 の2重根号をはずすには, a+b+2 ab = a + b  と比較をすることにより,

{ a+b=5 ab=6  

を満たす a bを求めればよいことがわかる.

ab=6 より, ( a,b )=( 1,6 ),( 2,3 ) が候補となる.( a>b>0 の場合を考えている. a bが入れ替わっても同じであるため. ) 

候補の中で, a+b=5 を満たすのは, ( a,b )=( 2,3 ) である.

よって,

5+2 6 = 3 + 2  

となる.

 

3+ 5  の2重根号をはずすには,まず,根号√の前に2がついている必要がある(例えば,2 3のようになっている必要がある).

よって,

3 + 5

= 3 + 5 1

= 2 ( 3 + 5 ) 2 1

= 6 + 2 5 2

のように式を変形する.

  • 6 + 2 5

  • = 1 + 5 + 2 5 1

  • = 5 + 1

より,

6+2 5 2

= 5 +1 2

= 2 ( 5 +1 ) ( 2 ) 2

(分母を有理化する)

= 10 + 2 2

以上より, 

3+ 5 = 10 + 2 2  

となる.

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最終更新日: 2019年3月14日

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