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三角不等式

実数$x$，$y$に対して不等式が成り立つ

$\left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|$　･･････(1)

が成り立つ．

■証明

(1)の不等式を2つに分ける．

${\displaystyle \left|x+y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

${\displaystyle \left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|}$

●${\displaystyle \left|x+y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$の証明

${\displaystyle -\left|x\right|\leqq x\leqq \left|x\right|}$　･･････(2)

${\displaystyle -\left|y\right|\leqq y\leqq \left|y\right|}$　･･････(3)

(1)+(3)より

${\displaystyle -\left|x\right|-\left|y\right|\leqq x+y\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

${\displaystyle -\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\leqq x+y\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

${\displaystyle \left|x+y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

●${\displaystyle \left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|}$の証明

${\displaystyle -\left|x\right|\leqq x\leqq \left|x\right|}$　･･････(4)

${\displaystyle -\left|y\right|\leqq -y\leqq \left|y\right|}$　･･････(5)

(4)+(5)より

${\displaystyle -\left|x\right|-\left|y\right|\leqq x-y\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

${\displaystyle -\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\leqq x-y\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

${\displaystyle \left|x-y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$　･･････(6)

ここで，

$x-y=z$　･･････(7)

とおくと

$x=z+y$　･･････(8)

（7），(8)を(6)に代入すると

$\left|z\right|\leqq \left|z+y\right|+\left|y\right|$　･･････(8)

となる．

$z$を$x$ に書き換えると

$\left|x\right|\leqq \left|x+y\right|+\left|y\right|$

$\left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|$

が得られる．

■1次元ベクトルを使って，解説する．

$\left|x\right|=a$とすると，$x$ は$a$あるいは $-a$である．また，$\left|y\right|=b$とすると，$y$ は$b$あるいは $-b$である．ただし，${\displaystyle a\leqq b}$ とする．これらを，以下の2つの1次元ベクトルで表現することにする.

$a$ ：， $-a$ ：， $b$ ：， $b$ ：

$x+y$の計算の組み合わせは，以下の4通りになる．

• $x=a$，$y=b$ の場合

  

• $x=-a$，$y=b$ の場合

  

• $x=a$，$y=-b$ の場合

  

• $x=-a$，$y=-b$ の場合

  

$x+y$の取りうる値を，小さい順に並べると,$-a-b$，$a-b$ ，$-a+b$，$a+b$となる．

${\displaystyle \left|-a-b\right|=\left|-\left(a+b\right)\right|=\left|a+b\right|=a+b}$

より，${\displaystyle \left|x+y\right|}$ の最大値は，$a+b$となり

$\left|x+y\right|\leqq a+b=\left|x\right|+\left|y\right|$ 　･･････(9)

が成り立つ．(9)は，$x$，$y$の対称性を考えると，$a\ge b$の場合も成り立つ.

$\left|-a+b\right|=\left|-\left(a-b\right)\right|=\left|a-b\right|$

より，${\displaystyle \left|x+y\right|}$ の最小値は，$\left|a-b\right|$ となり

$\left|a-b\right|\leqq \left|x+y\right|$

が成り立つ.

$a\le b$より

$a-b<0$

である．よって

$\left|x\right|-\left|y\right|=a-b<\left|a-b\right|\leqq \left|x+y\right|$　･･････(10)

$a\ge b$の場合は，$\left|a-b\right|=a-b$より

$\left|x\right|-\left|y\right|=a-b=\left|a-b\right|\leqq \left|x+y\right|$　･･････(11)

となる．

(10)，(11)より，任意の$x$，$y$に対して

${\displaystyle \left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|}$

が成り立つ．

 

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最終更新日： 2023年12月18日

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