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# シュワルツの不等式

## ■ $3 \( {a}^{2}+{b}^{2} \) \( {x}^{2}+{y}^{2} \) \geq { \( ax+by \) }^{2}$

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$

のとき．

### ●証明

$3\displaystyle{\begin{array}{lll}\hspace{5} \( {a}^{2}+{b}^{2} \) \( {x}^{2}+{y}^{2} \) - { \( ax+by \) }^{2}& \vspace{6}\\ ={a}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}+{b}^{2}{x}^{2}+{b}^{2}{y}^{2}- {a}^{2}{x}^{2}- 2abxy- {b}^{2}{y}^{2}& \vspace{6}\\ ={a}^{2}{y}^{2}- 2abxy+{b}^{2}{x}^{2}& \vspace{6}\\ ={ \( ay- bx \) }^{2}\geq 0& \vspace{6}\\ \end{array}}$

∴　$3\displaystyle{ \( {a}^{2}+{b}^{2} \) \( {x}^{2}+{y}^{2} \) \geq { \( ax+by \) }^{2}}$

$3\displaystyle{ay- bx=0\rightarrow ay=bx}$

の場合である．

$3\displaystyle{a\neq 0,b\neq 0}$ であれば，

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$

の場合である．

## ■ $3 \( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \) \( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \) \geq { \( ax+by+cz \) }^{2}$

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}}}$

のとき．

### ●証明

$3\displaystyle{\begin{array}{lll}\hspace{5} \( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \) \( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \) - { \( ax+by+cz \) }^{2}& \vspace{6}\\ ={a}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}+{a}^{2}{z}^{2}+{b}^{2}{x}^{2}+{b}^{2}{y}^{2}+{b}^{2}{z}^{2}+{c}^{2}{x}^{2}+{c}^{2}{y}^{2}+{c}^{2}{z}^{2}& \vspace{6}\\ \hspace{5}- {a}^{2}{x}^{2}- {b}^{2}{y}^{2}- {c}^{2}{z}^{2}- 2abxy- 2bcyx- 2cazx& \vspace{6}\\ ={a}^{2}{y}^{2}+{a}^{2}{z}^{2}+{b}^{2}{x}^{2}+{b}^{2}{z}^{2}+{c}^{2}{x}^{2}+{c}^{2}{y}^{2}- 2abxy- 2bcyx- 2cazx& \vspace{6}\\ = \( {a}^{2}{y}^{2}- 2abxy+{b}^{2}{x}^{2} \) + \( {b}^{2}{z}^{2}- 2bcyx+{c}^{2}{y}^{2} \) + \( {c}^{2}{x}^{2}- 2cazx+{a}^{2}{z}^{2} \) & \vspace{6}\\ ={ \( ay- bx \) }^{2}+{ \( bz- cy \) }^{2}+{ \( cx- az \) }^{2}\geq 0& \vspace{6}\\ \end{array}}$

∴　$3\displaystyle{ \( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \) \( {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2} \) \geq { \( ax+by+cz \) }^{2}}$

$3\displaystyle{ay- bx=0,bz- cy=0,cx- az=0\rightarrow ay=bx,bz=cy,cx=az}$

の場合である．

$3\displaystyle{a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0}$ であれば，

$3\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}}}$

の場合である．

• 文字数をｎ 個に拡張した場合．
$3\displaystyle{ \displaystyle{ \( { \sum }\limits_{ k=1 }^{ n } { \hspace{1}{ a }_{ k } }^{ 2 } \) \( { \sum }\limits_{ k=1 }^{ n } { \hspace{1}{ x }_{ k } }^{ 2 } \) \geq { \( { \sum }\limits_{ k=1 }^{ n } \hspace{1}{ a }_{ k }\hspace{1}{ x }_{ k } \) }^{ 2 } } }$

• 定積分に拡大した場合
$3\displaystyle{a\leq b}$  ならば，$3\displaystyle{\int _{a}^{b} \( f{ \(x\) }^{2}dx \) \int _{a}^{b} \( g{ \(x\) }^{2}dx \) \geq { \( \int _{a}^{b} \( f \(x\) g \(x\) dx \) \) }^{2}}$

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