三角不等式

三角不等式

実数xyに対して不等式が成り立つ

| x || y || x+y || x |+| y |  ・・・・・・(1)

が成り立つ.

■証明

(1)の不等式を2つに分ける.

x+y x + y

x y x+y

x+y x + y の証明

x x x  ・・・・・・(2)

y y y  ・・・・・・(3)

(1)+(3)より

x y x+y x + y

x + y x+y x + y

x+y x + y

x y x+y の証明

x x x  ・・・・・・(4)

y y y  ・・・・・・(5)

(4)+(5)より

x y xy x + y

x + y xy x + y

xy x + y  ・・・・・・(6)

ここで,

xy=z  ・・・・・・(7)

とおくと

x=z+y  ・・・・・・(8)

(7),(8)を(6)に代入すると

z z+y + y  ・・・・・・(8)

となる.

zx に書き換えると

x x+y + y

x - y x+y

が得られる.

■1次元ベクトルを使って,解説する.

x =a とすると,xaあるいは -aである.また, y =b とすると,ybあるいは -bである.ただし, ab とする.これらを,以下の2つの1次元ベクトルで表現することにする.

a - a b b

x+y の計算の組み合わせは,以下の4通りになる.

x+y の取りうる値を,小さい順に並べると, ab ab a+b a+b となる.

ab = a+b = a+b =a+b

より, x+y の最大値は, a+b となり

x+y a+b= x + y  ・・・・・・(9)

が成り立つ.(9)は,xyの対称性を考えると, ab の場合も成り立つ.

a+b = ab = ab

より, x+y の最小値は, ab となり

ab x+y

が成り立つ.

ab より

ab<0

である.よって

x y =ab< ab x+y  ・・・・・・(10)

ab の場合は, ab =ab より

x y =ab= ab x+y  ・・・・・・(11)

となる.

(10),(11)より,任意のxyに対して

x y x+y

が成り立つ.

 

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最終更新日: 2023年12月18日