シュワルツの不等式
KIT数学ナビゲーション
 

シュワルツの不等式

■  ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ( ax+by ) 2

等号がなりたつのは

x a = y b

のとき.

●証明

( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ( ax+by ) 2 = a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 a 2 x 2 2abxy b 2 y 2 = a 2 y 2 2abxy+ b 2 x 2 = ( aybx ) 2 0

∴  ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ( ax+by ) 2

因数分解,平方完成で不等式を証明している.不等式の証明ページを参照.

等号が成り立つのは,

aybx=0ay=bx  

の場合である.

a0,b0 であれば,

x a = y b

の場合である.

■  ( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ( ax+by+cz ) 2

等号がなりたつのは

x a = y b = z c

のとき.

●証明

( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ( ax+by+cz ) 2 = a 2 x 2 + a 2 y 2 + a 2 z 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 + b 2 z 2 + c 2 x 2 + c 2 y 2 + c 2 z 2 a 2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 2abxy2bcyx2cazx = a 2 y 2 + a 2 z 2 + b 2 x 2 + b 2 z 2 + c 2 x 2 + c 2 y 2 2abxy2bcyx2cazx =( a 2 y 2 2abxy+ b 2 x 2 )+( b 2 z 2 2bcyx+ c 2 y 2 )+( c 2 x 2 2cazx+ a 2 z 2 ) = ( aybx ) 2 + ( bzcy ) 2 + ( cxaz ) 2 0

∴  ( a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ( ax+by+cz ) 2

平方完成dで不等式を証明している.不等式の証明ページを参照.

等号が成り立つのは,

aybx=0,bzcy=0,cxaz=0ay=bx,bz=cy,cx=az

の場合である.

a0,b0,c0 であれば,

x a = y b = z c  

の場合である.

  • 文字数をn 個に拡張した場合.
    ( k = 1 n a k 2 ) ( k = 1 n x k 2 ) ( k = 1 n a k x k ) 2

  • 定積分に拡大した場合
    ab  ならば, a b ( f ( x ) 2 dx ) a b ( g ( x ) 2 dx ) ( a b ( f( x )g( x )dx ) ) 2

ホーム>>カテゴリー別分類>>数と式>>式と証明:シュワルツの不等式

初版:2004年7月9日,最終更新日: 2007年10月13日

[ページトップ] 金沢工業大学