周期2πのフーリエ級数の公式

周期2πのフーリエ級数の公式

周期 2π 周期関数 f( x )

a 0 + n=1 ( a n cosnx+ b n sinnx )  

a 0 = 1 2π π π f( x )dx  ・・・・・・(1)

a n = 1 π π π f( x )cosnx dx      ( n=1,2,3··· ) ・・・・・・(2)

b n = 1 π π π f( x )sinnxdx      ( n=1,2,3··· ) ・・・・・・(3)

のようり三角関数級数として表される.この級数のことを関数 f( x )フーリエ級数といい, a 0 a n b n のことをフーリエ係数という.

関数 f ( x ) が不連続となる x などでは f ( x ) の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので, f ( x ) のフーリエ級数を表す場合

f( x )= a 0 + n=1 ( a n cosnx+ b n sinnx ) ・・・・・・(4)

 のように「=」を使わず,「〜」を使い

f( x ) a 0 + n=1 ( a n cosnx+ b n sinnx ) ・・・・・・(5)

と表すのが一般的である.

■フーリエ係数を求める計算

a 0 を求める計算

(4)の両辺を区間 [ π,π ] 積分する.

π π f( x )dx = π π { a 0 + n=1 ( a n cosnx+ b n sinnx ) }dx

π π f( x )dx = π π a 0 dx + n=1 π π a n cosnxdx + n=1 π π b n sinnxdx  

π π f( x )dx = a 0 π π dx + n=1 a n π π cosnxdx + n=1 b n π π sinnxdx  

ここで

π π dx = [ x ] π π =π+π=2π  

π π cosnxdx = [ 1 n sinnx ] π π = 1 n sinnπ 1 n sinn( π ) =00=0  

π π sinnxdx = [ 1 n cosnx ] π π = 1 n cosnπ+ 1 n cosn( π )=11 =0  

以上より

π π f( x )dx =2π a 0  

これより,(1)の

a 0 = 1 2π π π f( x )dx  

が得られる.

a n を求める計算

(4)の両辺に cosmx を掛けてから両辺を [ π , π ] で積分する.

π π f( x )cosmxdx = π π { a 0 + n=1 ( a n cosnx+ b n sinnx ) }cosmxdx

π π f( x )cosmxdx

= π π a 0 cosmxdx + n=1 π π a n cosnxcosmxdx + n=1 π π b n sinnxcosmxdx  

π π f( x )cosmxdx

= a 0 π π cosmxdx + n=1 a n π π cosnxcosmxdx + n=1 b n π π sinnxcosmxdx  

ここで

π π cosmxdx = [ 1 m sinmx ] π π = 1 m sinmπ 1 m sinm( π )=0  

π π cosnxcosmxdx  の計算は, nm のとき, 積和の公式を利用して

= π π 1 2 { cos( n+m )x+cos( nm )x }dx

= 1 2 [ 1 n+m sin( n+m )x+ 1 nm sin( nm )x ] π π

=0

n=m  のとき,半角の公式を利用して

= π π cos 2 mxdx = π π 1 2 ( 1+cos2mx )dx = [ 1 2 ( x+ 1 2m sin2mx ) ] π π =π  

π π sinnxcosmxdx の計算は, sinnxcosmx 奇間数であることより,0となる.

以上より

π π f( x )cosmxdx =π a n  

となり, m n に書き換えて(2)の

a n = 1 π π π f( x )cosnx dx   (n=0,1,2,)  

が得られる.

b n を求める計算

(4)の両辺に sin m x を掛けてから両辺を [ π , π ] で積分する.

π π f( x )cosmxdx = π π { a 0 + n=1 ( a n cosnx+ b n sinnx ) }sinmxdx

π π f( x )sinmxdx

= π π a 0 sinmxdx + n=1 π π a n cosnxsinmxdx + n=1 π π b n sinnxsinmxdx  

π π f( x )sinmxdx

= a 0 π π sinmxdx + n=1 a n π π cosnxsinmxdx + n=1 b n π π sinnxsinmxdx  

ここで

π π sinmxdx = [ 1 m cosmx ] π π

= 1 m cosmπ+ 1 m cosm( π )

=11=0

π π cosnxsinmxdx  の計算は, cosnxsinmx が奇間数より,0となる.

π π sinnxsinmxdx  の計算は, nm のとき

= π π [ 1 2 { cos( n+m )x+cos( nm )x } ]dx

= 1 2 [ 1 n+m sin( n+m )x+ 1 nm sin( nm )x ] π π

=0  

n=m  のとき

= π π sin 2 mxdx = π π 1 2 ( 1cos2mx )dx = [ 1 2 ( x 1 2m sin2mx ) ] π π =π  

以上より

π π f( x )sinmxdx =π b m  

となり, m n に書き換えて(3)の

b n = 1 π π π f( x )sinnxdx     (n=1,2,3, )

が得られる.

 

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最終更新日: 2023年6月29日