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周期2πのフーリエ級数の公式

周期周期関数 は,

 

 ・・・・・・(1)

     ( ) ・・・・・・(2)

     ( ) ・・・・・・(3)

のようり三角関数級数として表される.この級数のことを関数フーリエ級数といい, のことをフーリエ係数という.

関数 が不連続となる などでは の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので, のフーリエ級数を表す場合,

 ・・・・・・(4)

 のように「=」を使わず,「〜」を使い

 ・・・・・・(5)

と表すのが一般的である.

■フーリエ係数を求める計算

を求める計算

(4)の両辺を区間 積分する.

 

 

 

ここで,

 

 

 

以上より,

 

これより,(1)の

 

が得られる.

を求める計算

(4)の両辺に を掛けてから両辺を で積分する.

 

 

 

ここで,

 

 の計算は, のとき, 積和の公式を利用して,

 

 のとき,半角の公式を利用して,

 

の計算は,奇間数であることより,0となる.  

以上より,

 

となり, に書き換えて(2)の

 

が得られる.

を求める計算

(4)の両辺に を掛けてから両辺を で積分する.

 

 

 

ここで,

 

 の計算は, が奇間数より,0となる.

 の計算は,のとき,

 

 のとき,

 

以上より,

 

となり, に書き換えて(3)の

 

が得られる.

 

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最終更新日: 2015年3月16日

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