マクローリン展開 log(1+x)
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log( 1+x ) のマクローリン展開

log( 1+x )=x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 +  

■導出 

f( x )=log( 1+x ) とおく.   f( 0 )=log1=0

f ' ( x )= 1 1+x ( 1+x ) ' = 1 1+x 1 = ( 1+x ) 1    f ' ( 0 )=1

f '' ( x )=( 1 ) ( 1+x ) 2 ( 1+x ) ' =( 1 ) ( 1+x ) 2 1 = ( 1+x ) 2    f '' ( 0 )=1

f ''' ( x )=( 2 )( 1 ) ( 1+x ) 3 ( 1+x ) ' =2! ( 1+x ) 3    f ''' ( 0 )=2!

f ( 4 ) ( x )=( 3 )( 2! ) ( 1+x ) 4 ( 1+x ) ' =3! ( 1+x ) 4    f ( 4 ) ( 0 )=3!

f 5 x = 4 3! 1+x 5 1+x ' =4! 1+x 5    f ( 5 ) ( 0 )=4!

したがって,マクローリン展開の公式

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 + + f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して 

log 1+x =0+1x+ 1 2! x 2 + 2! 3! x 3 + 3! 4! x 4 +

=x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 +

■収束半径 

a n = ( 1 ) n1 ( n1 )! n! a n+1 = ( 1 ) n n! ( n+1 )!

lim n | a n+1 a n | = lim n | ( 1 ) n n! ( n+1 )! ( 1 ) n1 ( n1 )! n! | = lim n | ( 1 ) n ( 1 ) n1 n! ( n+1 )! n! ( n1 )! | = lim n | n n+1 | = lim n | 1 1+ 1 n | =1

よって,収束半径 R

R= 1 1 =1

となる.

x の値が収束半径と等しいとき, 

x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 +  

の収束性について検討する. 

x=1 のとき

1 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 1 6 + =( 1 1 1 2 )+( 1 3 1 4 )+( 1 5 1 6 )+ = 21 12 + 43 34 + 65 56 + = 1 12 + 1 34 + 1 56 + = lim n k=1 n 1 ( 2k1 )2k < lim n k=1 n 1 ( 2k1 ) 2 ( 1 ( 2k1 )2k < 1 ( 2k1 ) 2 ) <1+ lim n 1 n 1 ( 2x1 ) 2 dx =1+ lim n [ 1 2x1 ] 1 n =1+ lim n ( 1 2n1 +1 ) =2

となり,収束する. 

x = 1 のとき

1 1 1 2 1 3 1 4 = lim n k=1 n ( 1 k ) > lim n 0 n ( 1 x+1 )dx = lim n [ log( x+1 ) ] 0 n = lim n [ log( n+1 )log1 ] = lim n { log( n+1 ) } =

となり,発散する.以上より, 

x 1 2 x 2 + 1 3 x 3 1 4 x 4 +  

が収束する x の範囲は 

1<x1  

となる. 

 

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最終更新日: 2022年7月19日

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