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応用分野: べき級数
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無限級数の収束・発散

  • 無限級数  n=1 a n が収束する.⇒ lim n a n =0

  • lim n a n 0  ⇒ 無限級数  n=1 a n が発散する.(上記の対偶)

■解説

lim n a n =0 は 無限級数 n=1 a n が収束するための必要条件であるが,十分条件ではない.

lim n a n 0 は無限級数 n=1 a n が発散するための十分条件であが, lim n a n =0 でも発散する場合がある.

以下に事例をあげる.

a n = 1 n + n+1 を考える.  

lim n a n =0 となるが

a n = 1 n + n + 1

= n n + 1 ( n + n + 1 ) ( n n + 1 )

= n n + 1 n ( n + 1 )

= n + 1 n

と変形でき, S n = k=1 n a k とおくと

S n = ( 1 + 1 1 ) + ( 2 + 1 2 ) ( n + 1 n )

= 1 + n + 1

となる.よって

n = 1 a n = lim n S n

= lim n ( 1 + n + 1 )

=

となり, lim n a n =0 となる場合でも無限級数 n=1 a n が収束しない場合がある.

 

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最終更新日: 2023年7月27日

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