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二項定理

一般項:     
二項係数:   
    特に,  

■二項定理の導出

の二項展開を から順に計算してみる.

 
    (単項式の数は
 
 
 

 
    (単項式の数は
 
 
 
 
   

 
 
 
 
  (単項式の数は ) 
 
 
 
 

以上4乗まで計算した.これらから, を展開すると単項式 でき, の単項式は から成る個の文字列中からの文字が入る位置を 個選ぶ組合せに等しいことが推測できる. よって,

          ・・・・・・(1)

となることがわかる.これを数学的帰納法を用いて証明する.

のとき,

となり,(1)は成り立つ.

のとき,(1)が成りたつと仮定すると,

すると,

第2項の において  (  )とおくと,
第2項の をに書き換えて,式を少し変形すると,

より (この関係からパスカルの三角形が得られる)

よって, のときも(1)が成り立ち,数学的帰納法により,(1)はすべての自然数  に対して成り立つ.

の係数は,上述した具体的な計算事例と の関係から,パスカルの三角形が得られる.

パスカルの三角形を下に示す.

 

 

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初版:2004年7月6日,最終更新日: 2013年10月24日

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