数列 1 4 , 2 4 , 3 4 ,⋯, n 4 の和（和記号Σを参照）
∑ k = 1 n k 4 = 1 4 + 2 4 + 3 4 + ⋯ + n 4 = 1 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 )
( k+1 ) 5 − k 5 =5 k 4 +10 k 3 +10 k 2 +5k+1 に順に k=1,2,3,⋯,n 代入し，下のように縦にそろえて加えると
上式に ∑ k=1 n k = 1 2 n( n+1 ) （参照） ， ∑ k=1 n k 2 = 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) （参照） ， ∑ k=1 n k 3 = { 1 2 n( n+1 ) } 2 （参照） を代入すると
( n+1 ) 5 −1 =5 ∑ k=1 n k 4 +10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 +10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) } +5{ 1 2 n( n+1 ) }+n
となり，この式を整理すると
5 ∑ k=1 n k 4 ={ ( n+1 ) 5 −1 } −[ 10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 +10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) }+5{ 1 2 n( n+1 ) }+n ]
5 ∑ k=1 n k 4 = ( n+1 ) 5 −1 −10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 −10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) } −5{ 1 2 n( n+1 ) }−n
∑ k=1 n k 4 = 1 5 n+1 5 −1−10 1 2 n n+1 2 −10 1 6 n n+1 2n+1 −5 1 2 n n+1 −n
= 1 5 [ ( n+1 ) 5 −10× 1 4 n 2 ( n+1 ) 2 − 5 3 n( n+1 )( 2n+1 )− 5 2 n( n+1 )−n−1 ]
= 1 5 { ( n+1 ) 5 − 5 2 n 2 ( n+1 ) 2 − 5 3 n( n+1 )( 2n+1 )− 5 2 n( n+1 )−( n+1 ) }
= 1 5 ( n+1 ){ ( n+1 ) 4 − 5 2 n 2 ( n+1 )− 5 3 n( 2n+1 )− 5 2 n−1 }
= 1 5 ( n+1 )( n 4 +4 n 3 +6 n 2 +4n+1− 5 2 n 3 − 5 2 n 2 − 10 3 n 2 − 5 3 n− 5 2 n−1 )
= 1 5 ( n+1 ){ n 4 +( 4− 5 2 ) n 3 +( 6− 5 2 − 10 3 ) n 2 +( 4− 5 3 − 5 2 )n }
= 1 5 ( n+1 ){ n 4 +( 8−5 2 ) n 3 +( 36−15−20 6 ) n 2 +( 24−10−15 6 )n }
= 1 5 ( n+1 )( n 4 + 3 2 n 3 + 1 6 n 2 − 1 6 n )
= 1 30 n( n+1 )( 6 n 3 +9 n 2 +n−1 )
更にここで， f( n )=6 n 3 +9 n 2 +n−1 とおくと
f( − 1 2 ) =6 ( − 1 2 ) 3 +9 ( − 1 2 ) 2 +( − 1 2 )−1
=− 6 8 + 9 4 − 1 2 −1
=− 3 4 + 9 4 − 2 4 − 4 4
= −3+9−2−4 4
=0
よって， n+ 1 2 を因数にもつので
以上より
f( n ) =( n+ 1 2 )( 6 n 2 +6n−2 )
=2( n+ 1 2 )( 3 n 2 +3n−1 )
=( 2n+1 )( 3 n 2 +3n−1 )
これを代入すると
∑ k=1 n k 4 = 1 30 n( n+1 )( 2n+1 )( 3 n 2 +3n−1 )
となり， ∑ k=1 n k 4 が求まる.
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最終更新日： 2023年12月14日
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