等比数列の和の公式導出

■公式の導出

等比数列 ${a_{n}}$ の初項を $a_{1}$ ，公差を $d$ とすると，

よって，第 $n$ 項は，

a_{n}

= r a_{n - 1}

= a_{1} r^{n - 1}

また，第 $n$ 項までの和は，

$[1] r = 1$ のとき

$S_{n}$	$= a_{1} + a_{1} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{1}$
	$= n a_{1}$

$[2] r \neq 1$ のとき

	$S_{n}$	$= a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} + a_{1} r^{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{1} r^{n - 1}$
$-)$	$r S_{n}$	$= a_{1} r + a_{1} r^{2} + a_{1} r^{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{1} r^{n - 1} + a_{1} r^{n}$

$\bar{(1 - r) S_{n} = a_{1} - a_{1} r^{n}}$
	$(1 - r) S_{n}$	$= a_{1} (1 - r^{n})$
$∴$	$S_{n}$	$= \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

よって， $[1], [2]$ より，第 $n$ 項までの和は，

$r \neq 1$ のとき，

$S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$
$r = 1$ のとき，

$S_{n} = a_{1} n$

学生スタッフ作成

初版：2004年7月1日，最終更新日： 2010年2月23日