応用分野：等差数列とその和，

等差数列の和の公式導出

■公式の導出

等差数列 ${a_{n}}$ の初項を $a_{1}$ ，公差を $d$ とすると，

$a_{2} = a_{1} + d$

$a_{3} = a_{2} + d = a_{1} + 2 d$

$a_{4} = a_{3} + d = a_{1} + 3 d$

$a_{5} = a_{4} + d = a_{1} + 4 d, \cdot \cdot \cdot$

よって，第 $n$ 項は，

$a_{n} = a_{n - 1} + d = a_{1} + (n - 1) d$

また，第 $n$ 項までの和は，

$S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + (a_{n} - d) + a_{n}$

和の順序を逆にして辺々を加えると，

$S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + (a_{n} - d) + a_{n}$

$+)$ $S_{n} = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + (a_{1} + d) + a_{1}$

$\bar{2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + \cdot \cdot \cdot + (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n})}$

$2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n})$

$S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$

また， $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ を代入すると，

$S_{n} = \frac{n {a_{1} + a_{1} + (n - 1) d}}{2}$

$= \frac{n {2 a_{1} + (n - 1) d}}{2}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2018年3月14日