初項 a 1 ,公差 d の等差数列an = a 1 +( n−1 )d の第 n 項までの和は
S n = ∑ m = 1 n a m = n { 2 a 1 + ( n − 1 ) d } 2 = n ( a 1 + a n ) 2
となる.
第 n 項までの和は
S n = a 1 + a 2 + a 3 +⋯⋯+ a n−1 + a n
= a 1 +( a 1 +d )+( a 1 +2d )+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+( a n −d )+ a n
和の順序を逆にして辺々を加えると
S n = a 1 +( a 1 +d )+( a 1 +2d )+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+( a n −d )+ a n
+ ) S n = a n +( a n −d )+( a n −2d )+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+( a 1 +d )+ a 1
2 S n =( a 1 + a n )+( a 1 + a n )+( a 1 + a n )+⋅⋅⋅+( a 1 + a n )+( a 1 + a n ) ¯
2 S n =n( a 1 + a n )
S n = n( a 1 + a n ) 2
また, a n = a 1 +( n−1 )d を代入すると
S n = n{ a 1 + a 1 +( n−1 )d } 2 = n{ 2 a 1 +( n−1 )d } 2
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最終更新日: 2023年7月28日
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