無限級数の収束・発散

• 無限級数　 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ が収束する．⇒${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=0}$

• ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n\ne 0}$　⇒ 無限級数　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ が発散する．（上記の対偶）

■解説

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=0}$ は 無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ が収束するための必要条件であるが，十分条件ではない．

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n\ne 0}$は無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ が発散するための十分条件であが，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=0}$でも発散する場合がある．

以下に事例をあげる．

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}$ を考える．  

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=0}$ となるが

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-\left(n+1\right)}}$

${\displaystyle =\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$

と変形でき，${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k}$ とおくと

${\displaystyle S_n=\left(\sqrt{1+1}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{2+1}-\sqrt{2}\right)}$${\displaystyle -\cdots -\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}$

${\displaystyle =-1+\sqrt{n+1}}$

となる．よって

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\left(-1+\sqrt{n+1}\right)}$

${\displaystyle =\infty }$

となり，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=0}$ となる場合でも無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ が収束しない場合がある．

 

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最終更新日： 2023年7月27日