Σkの3乗の計算式
KIT数学ナビゲーション
 

k=1 n k 3 の計算式

数列 1 3 , 2 3 , 3 3 ,, n 3 の和

k=1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 ++ n 3 = { n ( n+1 ) 2 } 2


( k+1 ) 4 k 4 =4 k 3 +6 k 2 +4k+1 に順に k=1,2,3,,n を代入し,以下のように縦にそろえて加えると,

  2 4 1 4 = 4· 1 3 +6· 1 2 +4·1 +1
  3 4 2 4 = 4· 2 3 +6· 2 2 +4·2 +1
  4 4 3 4 = 4· 3 3 +6· 3 2 +4·3 +1
         
         
         
+) ( n+1 ) 4 n 4 = 4· n 3 +6 n 2 +4·n +1
( n+1 ) 4 1=4 k=1 n k 3 +6 k=1 n k 2 +4 k=1 n k +n ¯


上式を, k=1 n k 3 = 1 4 { ( n+1 ) 4 16 k=1 n k 2 4 k=1 n k n } と整理し,右辺に k=1 n k = 1 2 n( n+1 ) 参照), k=1 n k 2 = 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) 参照)をそれぞれ代入する.

k = 1 n k 3 = 1 4 { ( n + 1 ) 4 1 6 k = 1 n k 2 4 k = 1 n k n }

= 1 4 { ( n + 1 ) 4 6 k = 1 n k 2 4 k = 1 n k n 1 }

= 1 4 { ( n + 1 ) 4 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 2 n ( n + 1 ) ( n + 1 ) }

= 1 4 ( n + 1 ) { ( n + 1 ) 3 n ( 2 n + 1 ) 2 n 1 }

= 1 4 ( n + 1 ) { ( n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 ) ( 2 n 2 + n ) 2 n 1 }

= 1 4 ( n + 1 ) { n 3 + ( 3 2 ) n 2 + ( 3 1 2 ) n + ( 1 1 ) }

= 1 4 ( n + 1 ) ( n 3 + n 2 )

= 1 4 ( n 4 + n 3 + n 3 + n 2 )

= 1 4 ( n 4 + 2 n 3 + n 2 )

= 1 4 n 2 ( n 2 + 2 n + 1 )

= { 1 2 n ( n + 1 ) } 2

 

 

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>数列:Σkの3乗の計算式

最終更新日: 2016年8月16日

[ページトップ] 金沢工業大学