Σkの4乗の計算式

k=1 n k 4 の計算式 

数列 1 4 , 2 4 , 3 4 ,, n 4 の和(和記号Σを参照)

k = 1 n k 4 = 1 4 + 2 4 + 3 4 + + n 4 = 1 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n 1 )

■公式の導出

( k+1 ) 5 k 5 =5 k 4 +10 k 3 +10 k 2 +5k+1 に順に k=1,2,3,,n  代入し,下のように縦にそろえて加えると

  2 5 1 5 = 5· 1 4       +10· 1 3      +10· 1 2      +5·1    +1
  3 5 2 5 = 5· 2 4       +10· 2 3      +10· 2 2      +5·2 +1
  4 5 3 5 = 5· 3 4       +10· 3 3      +10· 3 2      +5·3 +1
             
             
             
+)      ( n+1 ) 5 n 5 = 5· n 4       +10· n 3      +10· n 2      +5·n +1
          ( n+1 ) 5 1 5    =5 k1 n k 4 +10 k1 n k 3 +10 k1 n k 2 + k1 n k +n ¯


上式に k=1 n k = 1 2 n( n+1 ) 参照) , k=1 n k 2 = 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) 参照) , k=1 n k 3 = { 1 2 n( n+1 ) } 2 参照) を代入すると

( n+1 ) 5 1 =5 k=1 n k 4 +10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 +10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) } +5{ 1 2 n( n+1 ) }+n

となり,この式を整理すると

5 k=1 n k 4 ={ ( n+1 ) 5 1 } [ 10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 +10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) }+5{ 1 2 n( n+1 ) }+n ]

5 k=1 n k 4 = ( n+1 ) 5 1 10 { 1 2 n( n+1 ) } 2 10{ 1 6 n( n+1 )( 2n+1 ) } 5{ 1 2 n( n+1 ) }n

k=1 n k 4 = 1 5 n+1 5 110 1 2 n n+1 2 10 1 6 n n+1 2n+1 5 1 2 n n+1 n

= 1 5 [ ( n+1 ) 5 10× 1 4 n 2 ( n+1 ) 2 5 3 n( n+1 )( 2n+1 ) 5 2 n( n+1 )n1 ]

= 1 5 { ( n+1 ) 5 5 2 n 2 ( n+1 ) 2 5 3 n( n+1 )( 2n+1 ) 5 2 n( n+1 )( n+1 ) }

= 1 5 ( n+1 ){ ( n+1 ) 4 5 2 n 2 ( n+1 ) 5 3 n( 2n+1 ) 5 2 n1 }

= 1 5 ( n+1 )( n 4 +4 n 3 +6 n 2 +4n+1 5 2 n 3 5 2 n 2 10 3 n 2 5 3 n 5 2 n1 )

= 1 5 ( n+1 ){ n 4 +( 4 5 2 ) n 3 +( 6 5 2 10 3 ) n 2 +( 4 5 3 5 2 )n }

= 1 5 ( n+1 ){ n 4 +( 85 2 ) n 3 +( 361520 6 ) n 2 +( 241015 6 )n }

= 1 5 ( n+1 )( n 4 + 3 2 n 3 + 1 6 n 2 1 6 n )

= 1 30 n( n+1 )( 6 n 3 +9 n 2 +n1 )

更にここで,    f( n )=6 n 3 +9 n 2 +n1   とおくと

f( 1 2 ) =6 ( 1 2 ) 3 +9 ( 1 2 ) 2 +( 1 2 )1

= 6 8 + 9 4 1 2 1

= 3 4 + 9 4 2 4 4 4

= 3+924 4

=0

よって, n+ 1 2 因数にもつので


   6 n 2 +6n2
 
n+ 1 2 )6 n 3 +9 n 2 +   n1 ¯  
     6 n 3 +3 n 2  
                    6 n 2 +   n              ¯  
                    6 n 2 +3n  
                                2n1 ¯  
                               2n1  
                                                   0 ¯  

以上より

f( n ) =( n+ 1 2 )( 6 n 2 +6n2 )

=2( n+ 1 2 )( 3 n 2 +3n1 )

=( 2n+1 )( 3 n 2 +3n1 )

これを代入すると

k=1 n k 4 = 1 30 n( n+1 )( 2n+1 )( 3 n 2 +3n1 )

となり, k=1 n k 4 が求まる.

 

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最終更新日: 2023年12月14日