梁が曲がったときの歪と応力

梁が図のように曲がったとき,中立面から y の位置の層の梁の長さ方向の歪 ε x

ε x = y R

応力 σ x

σ x = E R y

と表される.

■導出

梁に正の曲げモーメントが働いたとき,梁は下に凸に曲がる.梁の微少な長さ ds の右側断面に生じる応力を考える.図のように中立面の梁の長さ方向に x 軸をとり,曲がった梁の曲率半径の中心方向に y 軸をとる.中立面に平行で y 軸の値が y である梁の微少な長さ ds は梁が曲がることにより d s に変化する.よって長さ方向の歪 ε x

ε x = d s ds ds

となる.梁の曲率半径を R とし,梁の微少長さ ds に対応する中心角を dθ とすると

ds=Rdθ

d s =( Ry )dθ

となる.よって

ε x = ( Ry )dθRdθ Rdθ = y R

となる.応力 σ と歪 ε みの関係は

σ=Eε

より

σ x = E R y

となる.

 

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最終更新日2017年5月30日