合成関数の微分

$3$\displaystyle{ y=f $u$ }$ , $3$\displaystyle{ u=g $x$ }$ のとき, $3$u$ を消去すると, $3$\displaystyle{ y=f $ g \(x$ \) }$ となる。これを, $3$\displaystyle{ y=f $u$ }$ , $3$\displaystyle{ u=g $x$ }$ の合成関数という。

合成関数を導関数の定義に従って微分する。

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ g \( x+h $ \) - f $ g \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}& \vspace{6}\\ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 } \{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} f $ g \( x+h $ \) - f $ g \(x$ \) \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+h $ - g $x$ \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\cdot \frac{\hspace{2} g $ x+h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}\} & \vspace{6}\\ \end{array}}$

ここで, $3$\displaystyle{g $ x+h $ - g $x$ =j}$ とおくと, $3$\displaystyle{g $ x+h $ =g $x$ +j=u+j}$ となる。

よって,
$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 } \{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} f $ u+j $ - f $u$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \cdot \frac{\hspace{2} g $ x+h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}\} }$

$3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ ならば, $3$\displaystyle{j\rightarrow 0}$ となる。

よって,
$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}={ \lim }\limits_{ j\rightarrow 0 } \{ \frac{\hspace{2} f $ u+j $ - f $u$ \hspace{2}}{\hspace{2}j\hspace{2}} \} & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\cdot { \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 } \{ \frac{\hspace{2} g $ x+h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} \} & \vspace{6}\\ \end{array}}$
$3$\displaystyle{={f}^{\prime } $u$ \cdot {g}^{\prime } $x$ }$ (導関数を参照⇒)
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

合成関数の導関数を以下のように表す場合もある。

$3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

戻る

[こ]
[か行]
[索引トップ]

[友達にこのページを紹介する]

【表示調整】
現在の水平表示画素数