積の微分

積の微分
$3$\displaystyle{ { \{ f $x$ g $x$ \} }^{\prime }={f}^{\prime } $x$ g $x$ +f $x$ {g}^{\prime } $x$ }$

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h $ - f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$
$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ x+h $ h $ x+h $ - g $x$ h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$
$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }& \vspace{6}\\ \{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} g $ x+h $ h $ x+h $ - g $x$ h $ x+h $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}& \vspace{6}\\ +\frac{\hspace{2} g $x$ h $ x+h $ - g $x$ h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}\} & \vspace{6}\\ \end{array}}$
　　　　　　（ここを参照⇒）
$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 } \{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} \[ g $ x+h $ - g $x$ \] h $ x+h $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}& \vspace{6}\\ +\frac{\hspace{2} g $x$ \[ h $ x+h $ - h $x$ \] \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}\} }$
$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}= \{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ x+h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} \} \{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }h $ x+h $ \} & \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}+g $x$ \{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} h $ x+h $ - h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} \} & \vspace{6}\\ \end{array}}$
$3$\displaystyle{={g}^{\prime } $x$ h $x$ +g $x$ {h}^{\prime } $x$ }$

よって，

$3$\displaystyle{{ \{ g $x$ h $x$ \} }^{\prime }={g}^{\prime } $x$ h $x$ +g $x$ {h}^{\prime } $x$ }$

である。

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