和，差の微分

和，差の微分
$3$\displaystyle{{ \{ f $x$ \pm g $x$ \} }^{\prime }={f}^{\prime } $x$ \pm {g}^{\prime } $x$ }$

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は関数 $3$\displaystyle{g $x$ }$ と $3$\displaystyle{h $x$ }$ より，

$3$\displaystyle{f $x$ =g $x$ \pm h $x$ }$

と定義されている。
$3$\displaystyle{f $x$ }$ の導関数は定義式より，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{f}^{\prime } $x$ ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+{\Delta}x $ +f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 } \{\begin{array}{lll}\frac{\hspace{2} \[ g $ x+{\Delta}x $ \pm h $ x+{\Delta}x $ \] \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ - \frac{\hspace{2} \[ g $x$ \pm h $x$ \] \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}\} & \vspace{6}\\ \end{array}}$

式を整理しなおすと，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{f}^{\prime } $x$ ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \[ g $ x+{\Delta}x $ - g $x$ \] \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\pm { \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \[ h $ x+{\Delta}x $ - h $x$ \] \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={g}^{\prime } $x$ +{h}^{\prime } $x$ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

となる。すなわち，

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ ={g}^{\prime } $x$ \pm {h}^{\prime } $x$ }$

である。

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