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単振り子の運動方程式をオイラー・ラグランジュ方程式から導出することを考える.
鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した長さ の棒の先端に質量 の質点を取り付けた単振り子について,棒が鉛直線となす角を とする.点 O を原点として,鉛直面内の鉛直下向きに 軸,水平方向に 軸をとると,質点 P の座標は
- - - (1)
と表せるが,棒が質点に作用する力 を束縛力として,質点の運動は半径 の円周上に束縛されているので,質点の位置は のみで指定できる(自由度は1).したがって,一般化座標として をとると都合がよい.質点の速度は円の接線方向を向き,その成分は
- - - (2)
と表されるので,質点の運動エネルギー は
- - - (3)
である.これは,式 (1) から
として求めても同じである.一方,重力による質点の位置エネルギー は, のときの最下点を基準点として
- - - (4)
である.したがって,ラグランジアン は
- - - (5)
となる.オイラー・ラグランジュ方程式は
⇒ ⇒
となり,整理すると単振り子の運動方程式(の接線方向成分)
- - - (6)
が得られる.
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