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オイラー・ラグランジュ方程式 (Euler - Lagrange equation) の例 : 単振り子

単振り子運動方程式をオイラー・ラグランジュ方程式から導出することを考える.

鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した長さ l の棒の先端に質量 m の質点を取り付けた単振り子について,棒が鉛直線となす角を θ とする.点 O を原点として,鉛直面内の鉛直下向きに x 軸,水平方向に y 軸をとると,質点 P の座標は

r = (x , y) = ( lcosθ , lsinθ )     - - - (1)

と表せるが,棒が質点に作用する力 S を束縛力として,質点の運動は半径 l の円周上に束縛されているので,質点の位置は θ のみで指定できる(自由度は1).したがって,一般化座標として θ をとると都合がよい.質点の速度は円の接線方向を向き,その成分は

vt= ddt (lθ) =l θ˙     - - - (2)

と表されるので,質点の運動エネルギー T

T= 12m vt2 =12m l2 θ˙2     - - - (3)

である.これは,式 (1) から

vt2 = x˙2 + y˙2 = ( lsinθ θ˙ ) 2 + ( lcosθ θ˙ ) 2 =l2 ( sin2θ + cos2θ ) θ˙2 =l2 θ˙2

として求めても同じである.一方,重力による質点の位置エネルギー U は, θ = 0 のときの最下点を基準点として

U=mg (lx) =mgl ( 1cosθ )     - - - (4)

である.したがって,ラグランジアン L=TU  は

L= 12m l2 θ˙2 mgl ( 1cosθ )     - - - (5)

となる.オイラー・ラグランジュ方程式は

ddt ( dL dθ˙ ) dL dθ =0    ⇒    ddt ( ml2 θ˙ ) ( mglsinθ ) =0    ⇒    ml2 θ¨ + mglsinθ =0

となり,整理すると単振り子の運動方程式(の接線方向成分)

ml θ¨ = mgsinθ     - - - (6)

が得られる.


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