減衰振動 ： 臨界減衰 (critical damping)

x 軸上を単振動する質量 m の質点に速度 v= dx / dt に比例する抵抗力が作用するときの運動方程式

m d2x dt2 =−cx −bv     （ c ， b ：正定数）     - - - (1)

において，単振動の角振動数 ω0 = c/m  と減衰率 γ=b/ 2m  を導入して整理すると，定数係数の2階同次線形微分方程式

d2x dt2 +2γ dx dt + ω02x =0     - - - (2)

が得られる．この特性方程式  λ2 + 2γλ + ω02 =0  の解  λ= −γ± γ2 − ω02  は，減衰率 γ が単振動の角振動数 ω0 に等しく  γ= ω0  ならば，ただ一つの解 λ= −γ （重根）となり，この場合を 臨界減衰 (critical damping) という．式(2)の一般解は

x= ( c1 + c2t ) e−γt     （ c1 ， c2 ：任意定数）     - - - (3)

で与えられ，ロピタルの定理により

lim t→∞ t e−γt = lim t→∞ t eγt = lim t→∞ 1 γ eγt =0

なので， t が無限に大きくなるとゼロに近づく．振動的な運動（不足減衰）と非振動的な運動（過減衰）との境界という意味で “臨界” という言葉を使うが，過減衰の場合と同様に，この解は振動せずに釣り合いの位置（ x=0 ）に収束する 非周期的減衰 (aperiodic damping) を示す．質点の速度は

v= dx dt = { c2 −γ( c1 + c2 t) } e−γt     - - - (4)

であり，初期条件として， x(0) =x0 ， v(0) =v0  を考えると，任意定数 c1 と c2 は

c1 = x0   ，   c2 = x0γ + v0     - - - (5)

を満たすように決定される．

γ=0.2  s-1  として，正の初期位置（ x0= 1.0 m ）と負の初期位置（ x0= −1.0 m ）の場合について，各々4通りの初期速度で計算した臨界減衰のグラフを下図に示す．いずれも過減衰の場合と似た非周期的減衰のグラフとなっている．

  

ω0 =0.30  s-1  として， 同じ初期条件 x0= 1.0 m ， v0= 0 m/s  の下で， γ を不足減衰（ γ=0.084 ,  0.18  s−1 ）の状況から臨界減衰（ γ=0.30  s−1 ），過減衰（ γ=0.50 ,  0.78  s−1 ）の状況に変えたときのグラフを下図に示す．

不足減衰の状態（ γ< ω0 ）から抵抗を強くしていくと， e−γt  により振動の減衰が大きくなり，ついには振動しない臨界減衰（ γ= ω0 ）に至る．さらに抵抗を強くしていくと，抵抗が強くなりすぎて動きが鈍くなり， e −(γ−η)t  のためになかなか釣り合いの位置（ x=0 ）に近づかない過減衰（ γ> ω0 ）に至る．したがって，臨界減衰のときが最も減衰が速い．

式(3)において， x=0  となる時刻は， c1 + c2t =0  より

t=− c1 c2     - - - (6)

となる． t≥0  なので， c1 / c2 ≤0  であれば必ず一度釣り合いの位置（ x=0 ）を通過し， c1 / c2 >0 であれば一度も釣り合いの位置を通過しない．

また，式(4)において，速度 v=0 とおくと位置 x が極大または極小になるときの時刻が得られる．その時刻は， c2 −γ( c1 + c2 t) =0  より

t= 1γ − c1 c2     - - - (7)

となる． t≥0  なので， c2 / c1 >γ であれば，位置 x がどこかの時点で極大または極小となる．

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