減衰振動 : 散逸関数 (dissipation function)
x
軸上を減衰振動する質量
m
の質点には,その位置
x
に比例した復元力
F=−cx
(
c
:正定数)が作用する.この力は保存力であり,
x=0
を基準点とした位置エネルギー
U(x)=
12
c
x2
から
F=−
dU
dx
=−cx
- - - (1)
と求まる.質点の速度
v
に比例した抵抗力
f=−bv
(
b
:正定数)についても,ある関数
D(v)
から
f=−
dD
dv
=−bv
- - - (2)
と求まるように書くことができ,このとき
D(v)=
12
b
v2
+C
(
C
:任意定数)と表される.ここで,
v=0
の場合に
D(0)
=C
=0
としたときの関数
D(v)=
12
b
v2
- - - (3)
を 散逸関数 (dissipation function) と呼ぶ.この減衰振動する系の力学的エネルギーは
E=
12
mv2
+
U(x)
=
12
mv2
+
12
cx2
- - - (4)
であり,力学的エネルギーの時間についての導関数は
dE
dt
=
d
dt
(
12
mv2
+
12
cx2
)
=
mv
dv
dt
+
cx
dx
dt
=mv
d2x
dt2
+
cxv
=v
(
m
d2x
dt2
+
cx
)
- - - (5)
となる.減衰振動する質点の運動方程式は
m
d2x
dt2
=
−cx−bv
⇒
m
d2x
dt2
+cx
=
−bv
- - - (6)
であるので,式(6)を式(5)に代入すると
dE
dt
=v
(−bv)
=
−b
v2
=−2D
- - - (7)
が得られる.これは,系の力学的エネルギーが変化する速さが,散逸関数
D
の−2倍で与えられることを意味する.
D≥0
なので,時間の経過とともに力学的エネルギーは減少する.すなわち,散逸関数は系のエネルギー散逸の度合いを決める.
ω0=
c/m
と
γ=
b/2m
の関係に応じた3つの場合について散逸関数の式を求める:
(i)
γ<
ω0
の場合(不足減衰)
位置:
x=A
e−γt
cos(ωt+α)
(
A
,
α
:定数)
- - - (8)
速度:
v=
dx
dt
=−A
e−γt
{
γcos
(ωt+α)
+
ωsin
(ωt+α)
}
=−Aω0
e−γt
cos
(ωt+β)
- - - (9)
ここで,
β
は次の2式を満たす角度である.
cos(α−β)
=
γω0
,
sin(α−β)
=
ωω0
⇒
v2
=A2
ω02
e−2γt
cos2
(ωt+β)
=12A2
ω02
e−2γt
{
1+cos2
(ωt+β)
}
散逸関数:
D(t)=
14bA2
ω02
e−2γt
{
1+cos2
(ωt+β)
}
- - - (10)
例として,
m=1.0 kg
,
ω0
=0.30
s-1
,
γ=0.084
s−1
,初期条件
x0=
1.0 m
,
v0=
0 m/s
の場合について,減衰振動する質点の位置
x(t)
と散逸関数
D(t)
のグラフを示す.この場合,
ω=0.288
s-1
,
β=−π/2
である.
(ii)
γ>
ω0
の場合(過減衰)
位置:
x=
e−γt
(
c1
eηt
+
c2
e−ηt
)
(
c1
,
c2
:定数)
- - - (11)
速度:
v=
dx
dt
=−
e−γt
{
(γ−η)
c1
eηt
+
(γ+η)
c2
e−ηt
}
- - - (12)
⇒
v2
=
e−2γt
{
(γ−η)
c1
eηt
+
(γ+η)
c2
e−ηt
}2
=
e−2γt
{
(γ−η)
2
c12
e2ηt
+
(γ+η)
2
c22
e−2ηt
+2ω02
c1c2
}
散逸関数:
D(t)=
12
b
e−2γt
{
(γ−η)
2
c12
e2ηt
+
(γ+η)
2
c22
e−2ηt
+2ω02
c1c2
}
- - - (13)
(iii)
γ=
ω0
の場合(臨界減衰)
位置:
x=
(
c1
+
c2t
)
e−γt
(
c1
,
c2
:定数)
- - - (14)
速度:
v=
dx
dt
=
{
c2
−γ(
c1
+
c2
t)
}
e−γt
- - - (15)
⇒
v2
=
{
c2
−γ(
c1
+
c2
t)
}2
e−2γt
=
e−2γt
{
c22
−2c2γ
(
c1
+
c2
t)
+γ2
(
c1
+
c2
t
)
2
}
散逸関数:
D(t)=
12
b
e−2γt
{
c22
−2c2γ
(
c1
+
c2
t)
+γ2
(
c1
+
c2
t
)
2
}
- - - (16)
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