減衰振動 : 散逸関数 (dissipation function)

x 軸上を減衰振動する質量 m の質点には,その位置 x に比例した復元力 F=cx c :正定数)が作用する.この力は保存力であり, x=0  を基準点とした位置エネルギー  U(x)= 12 c x2  から

F= dU dx =cx     - - - (1)

と求まる.質点の速度 v に比例した抵抗力 f=bv b :正定数)についても,ある関数 D(v) から

f= dD dv =bv     - - - (2)

と求まるように書くことができ,このとき  D(v)= 12 b v2 +C C :任意定数)と表される.ここで, v=0  の場合に  D(0) =C =0  としたときの関数

D(v)= 12 b v2     - - - (3)

散逸関数 (dissipation function) と呼ぶ.この減衰振動する系の力学的エネルギー

E= 12 mv2 + U(x) = 12 mv2 + 12 cx2     - - - (4)

であり,力学的エネルギーの時間についての導関数は

dE dt = d dt ( 12 mv2 + 12 cx2 ) = mv dv dt + cx dx dt =mv d2x dt2 + cxv =v ( m d2x dt2 + cx )     - - - (5)

となる.減衰振動する質点の運動方程式

m d2x dt2 = cxbv     ⇒     m d2x dt2 +cx = bv     - - - (6)

であるので,式(6)を式(5)に代入すると

dE dt =v (bv) = b v2 =2D     - - - (7)

が得られる.これは,系の力学的エネルギーが変化する速さが,散逸関数 D の−2倍で与えられることを意味する. D0  なので,時間の経過とともに力学的エネルギーは減少する.すなわち,散逸関数は系のエネルギー散逸の度合いを決める.


ω0= c/m  と γ= b/2m  の関係に応じた3つの場合について散逸関数の式を求める:

(i)  γ< ω0 の場合(不足減衰

位置:  x=A eγt cos(ωt+α)     ( A α :定数)     - - - (8)

速度:  v= dx dt =A eγt { γcos (ωt+α) + ωsin (ωt+α) } =Aω0 eγt cos (ωt+β)     - - - (9)

ここで, β は次の2式を満たす角度である.

cos(αβ) = γω0   ,   sin(αβ) = ωω0

⇒   v2 =A2 ω02 e2γt cos2 (ωt+β) =12A2 ω02 e2γt { 1+cos2 (ωt+β) }

散逸関数:

D(t)= 14bA2 ω02 e2γt { 1+cos2 (ωt+β) }     - - - (10)

例として, m=1.0kg ω0 =0.30 s-1 γ=0.084 s1 ,初期条件 x0= 1.0m v0= 0m/s  の場合について,減衰振動する質点の位置 x(t) と散逸関数 D(t) のグラフを示す.この場合, ω=0.288 s-1 β=π/2 である.


(ii)  γ> ω0 の場合(過減衰

位置:  x= eγt ( c1 eηt + c2 eηt )     ( c1 c2 :定数)     - - - (11)

速度:  v= dx dt = eγt { (γη) c1 eηt + (γ+η) c2 eηt }     - - - (12)

⇒   v2 = e2γt { (γη) c1 eηt + (γ+η) c2 eηt }2
          = e2γt { (γη) 2 c12 e2ηt + (γ+η) 2 c22 e2ηt +2ω02 c1c2 }

散逸関数:

D(t)= 12 b e2γt { (γη) 2 c12 e2ηt + (γ+η) 2 c22 e2ηt +2ω02 c1c2 }     - - - (13)


(iii)  γ= ω0 の場合(臨界減衰

位置:  x= ( c1 + c2t ) eγt     ( c1 c2 :定数)     - - - (14)

速度:  v= dx dt = { c2 γ( c1 + c2 t) } eγt     - - - (15)

⇒   v2 = { c2 γ( c1 + c2 t) }2 e2γt
          = e2γt { c22 2c2γ ( c1 + c2 t) +γ2 ( c1 + c2 t ) 2 }

散逸関数:

D(t)= 12 b e2γt { c22 2c2γ ( c1 + c2 t) +γ2 ( c1 + c2 t ) 2 }     - - - (16)

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