減衰振動 : 微分方程式の解法 (solution of differential equation)

減衰振動の従う微分方程式

d2x dt2 +2γ dx dt + ω02x =0      ( γ ω0 :正定数)     - - - (1)

の一般解を求める:  解法1  解法2  (初期値問題は


解法1

式(1)は定数係数の2階同次線形微分方程式であるので,解を x= e λt  とおくと, dx / dt =λ eλt d2 x / d t2 = λ2 eλt  より

d2x dt2 +2γ dx dt + ω02x = λ2 eλt + 2γλ eλt + ω02 eλt = ( λ2 + 2γλ + ω02 ) eλt =0

となり, eλt 0  から,特性方程式

λ2 + 2γλ + ω02 =0     - - - (2)

を得る.この特性方程式の解は

λ= γ± γ2 ω02     - - - (3)

となり, λ1= γ+ γ2 ω02 λ2= γ γ2 ω02   とおくと,式(1)の一般解は2つの独立な解 eλ1t eλ2t  の線形結合

x= c1 eλ1t + c2 eλ2t     ( c1 c1 :任意定数)    - - - (4)

として求まるが,より正確には式(3)の根号内の γ2 ω02  の符号によって場合分けする必要がある:

(i)  γ2 ω02 <0 の場合 ( γ< ω0  : 不足減衰

この場合,式(3)の根号内の γ2 ω02  は負であるので,

γ2 ω02 =i ω02 γ2 =iω     - - - (5)

とおくと,特性方程式の2つの解は共役複素根として, λ1= γ+ iω λ2= γ iω  と表される.

したがって,オイラーの公式  e±iθ = cosθ±isinθ  を用いると,2つの独立な解は

eλ1t = e ( γ+iω ) t = eγt eiωt = eγt ( cosωt + isinωt )

eλ2t = e ( γiω ) t = eγt eiωt = eγt ( cosωt isinωt )

となる.よって,一般解は

x= c1 eλ1t + c2 eλ2t = eγt { ( c1 + c2 ) cosωt +i ( c1 c2 ) sinωt }

と書ける.物理量 x が実数であることを考えると, c1 = ( A1 +i A2 ) /2 c2 = ( A1 i A2 ) /2  とおいて

x= eγt ( A1 cosωt + A2 sinωt )    ( A1 A2 : 任意定数(実数))     - - - (6)

が求まる(2つの独立な解として, eγt cosωt eγt sinωt  を選び,それらの線形結合をとることに対応).

また, A= A12 + A22 cosα= A1 /A sinα= A2 /A  とおいて,加法定理を用いると,一般解は

x=A eγt cos(ωt+α)    ( A α : 任意定数)     - - - (7)

と書ける.


(ii)  γ2 ω02 >0 の場合 ( γ> ω0  : 過減衰

この場合,特性方程式は2つの異なる実数根を持ち, η= γ2 ω02   とおくと, λ1= γ+ η λ2= γ η  より

x= c1 eλ1t + c2 eλ2t = c1 e (γ+η)t + c2 e (γη)t = eγt ( c1 eηt + c2 eηt )     - - - (8)

となる( c1 c2 :任意定数). η<γ なので, λ1 , λ2 <0 であり,2つの独立な解 e λ1t e λ2t  はともに減少関数である.


(iii)  γ2 ω02 =0 の場合 ( γ= ω0  : 臨界減衰

この場合,特性方程式はただ一つの実数根 λ=γ 実重根)を持ち,2つの独立な解の一つは x1= eγt  である.

もう一つの解は,階数低減法によって求める.まず, t の関数 u(t) を用いて,もう一つの解を x2= eγt u  とおくと,

dx2 dt = γ eγt u + eγt du dt   ,   d2x2 dt2 = γ2 eγt u 2γ eγt du dt + eγt d2u dt2

であるので,これらを式(1)に代入すると

( γ2 eγt u 2γ eγt du dt + eγt d2u dt2 ) +2γ ( γ eγt u + eγt du dt ) + ω02 eγt u

= eγt d2u dt2 ( γ2 ω02 ) eγt u =0

今, γ2 ω02 =0  なので,上式は結局   d2u dt2 =0   となり,2回積分すると   u(t) = c1 + c2t  ( c1 c2 :任意定数) が得られるが,もう一つの独立な解 x2 を求めるには単純に  u(t) =t  とすればよいので, x2= teγt  が求まる.したがって,一般解は

x= c1x1 + c2x2 = c1 eγt + c2t eγt = ( c1 + c2t ) eγt     - - - (9)

となる( c1 c2 :任意定数).(実は, u(t) = c1 + c2t  とすれば, x= u eγt = ( c1 + c2t ) eγt  が一般解を表す.)



解法2  ページトップ

式(1)の解を x= e γt u  の形におく( u t の関数 )と,

dx dt = γ eγt u + eγt du dt   ,   d2x dt2 = γ2 eγt u 2γ eγt du dt + eγt d2u dt2

であるので,これらを式(1)に代入すると

( γ2 eγt u 2γ eγt du dt + eγt d2u dt2 ) +2γ ( γ eγt u + eγt du dt ) + ω02 eγt u

= eγt d2u dt2 ( γ2 ω02 ) eγt u = eγt ( d2u dt2 ( γ2 ω02 ) u ) =0

となる.ここで, eγt 0  であるので,

d2u dt2 ( γ2 ω02 ) u =0     - - - (10)

u について成り立つ.この式(10)について γ2 ω02  の符号により3つの場合に分ける:

(i)  γ2 ω02 <0 の場合 ( γ< ω0  : 不足減衰

ω= ω02 γ2     - - - (11)

とおくと,式(10)は

d2u dt2 + ω2 u =0     - - - (12)

となり,単振動の従う微分方程式と一致する.その特性方程式  λ2 + ω2 = (λiω) (λ+iω) =0  の解は λ=±iω  であるので,式(12)の一般解は

u= A1 cosωt + A2 sinωt    ( A1 , A2 : 任意定数)     - - - (13)

あるいは,

u= Acos ( ωt+α )    ( A,α : 任意定数)     - - - (14)

と求まる.したがって, x= e γt u  より,式(1)の一般解として

x= eγt ( A1 cosωt + A2 sinωt )    ( A1 A2 : 任意定数)     - - - (15)

あるいは,

x=A eγt cos(ωt+α)    ( A α : 任意定数)     - - - (16)

が得られる.


(ii)  γ2 ω02 >0 の場合 ( γ> ω0  : 過減衰

η= γ2 ω02     - - - (17)

とおくと,式(10)は

d2u dt2 η2 u =0     - - - (18)

となり,その特性方程式  λ2 η2 = (λη) (λ+η) =0  の解は λ=±η  であるので,式(12)の一般解は

u= c1 eηt + c2 eηt     ( c1 c2 :任意定数)     - - - (19)

と求まる.したがって,式(1)の一般解は x= e γt u  より

x= eγt ( c1 eηt + c2 eηt )     ( c1 c2 :任意定数)    - - - (20)

となる.


(iii)  γ2 ω02 =0 の場合 ( γ= ω0  : 臨界減衰

この場合,式(10)左辺の第2項目がゼロになるので,

d2u dt2 =0     - - - (21)

である.上式を2回積分すると  u= c1 + c2t  ( c1 c2 :任意定数)が得られるので,式(1)の一般解は x= e γt u  より

x= ( c1 + c2t ) eγt     ( c1 c2 :任意定数)    - - - (22)

と求まる.



初期値問題  ページトップ

初期条件 x(0)= x0 v(0)= v0 を満たす特殊解を求める( v(t)= dx/ dt ).


(i)  γ2 ω02 <0 の場合 ( γ< ω0  : 不足減衰

一般解を   x= eγt ( A1 cosωt + A2 sinωt )   とした場合

v= dx dt = eγt { ( γA1 ωA2 ) cosωt + ( ωA1 + γA2 ) sinωt }

初期条件より

x(0) = e0 ( A1cos0 + A2sin0 ) =A1 =x0

v(0) = e0 { ( γA1 ωA2 ) cos0 + ( ωA1 + γA2 ) sin0 } = γA1 + ωA2 =v0     ⇒     A2 = x0γ + v0 ω

なので,初期条件を満たす解は次式となる.

x= eγt ( x0 cosωt + x0γ + v0 ω sinωt )     - - - (23)


一般解を   x=A eγt cos(ωt+α)   とした場合

v= dx dt =A eγt { γcos (ωt+α) + ωsin (ωt+α) }

初期条件より

x(0) =A e0 cos(0+α) =Acosα =x0

v(0) = A e0 { γcos (0+α) + ωsin (0+α) } = γAcosα ωAsinα =v0     ⇒     Asinα = x0γ + v0 ω

なので,任意定数 A α

A2 = (Acosα) 2 + (Asinα) 2 = x02 + ( x0γ + v0 ω )2 = x02 + ( x0γ + v0 )2 ω2     - - - (24)

tanα = sinα cosα = x0γ + v0 ω x0 = x0γ + v0 x0ω      ( x0 0 )     - - - (25)

を満たすように決定する( x0 =0 のときは, cosα=0 を満たす α を考えればよい ).

この場合, A については正負の, α については nπ n :整数)の任意性が残っているが, A>0 と制限すると,

A= x02 + ( x0γ + v0 )2 ω2     - - - (26)

であり, α については,次の2式

cosα= x0 A = x0ω ( x0ω ) 2 + ( x0γ + v0 )2  ,  sinα= x0γ +v0 Aω = x0γ +v0 ( x0ω ) 2 + ( x0γ + v0 )2     - - - (27)

を同時に満たすように π<απ の範囲内で考えれば,一意的に決まる.


(ii)  γ2 ω02 >0 の場合 ( γ> ω0  : 過減衰

一般解 :  x= eγt ( c1 eηt + c2 eηt )

v= dx dt = eγt { (γη) c1 eηt + (γ+η) c2 eηt }

初期条件より

x(0) = e0 ( c1e0 + c2e0 ) =c1 +c2 =x0

v(0) = e0 { (γη) c1 e0 + (γ+η) c2 e0 } = (γη) c1 (γ+η) c2 =v0

上の2式を連立させて c1 c2 を求めると

c1 = (γ+η) x0 + v0 2η   ,   c2 = (γη) x0 + v0 2η     - - - (28)

が得られる.したがって,初期条件を満たす解は次式となる.

x= (γ+η) x0 + v0 2η e( γη )t (γη) x0 + v0 2η e( γ+η )t     - - - (29)


(iii)  γ2 ω02 =0 の場合 ( γ= ω0  : 臨界減衰

一般解 :  x= ( c1 + c2t ) eγt

v= dx dt = { c2 γ( c1 + c2 t) } eγt

初期条件より

x(0) = ( c1 + 0 ) e0 =c1 =x0

v(0) = { c2 γ ( c1+0 ) } e0 =c2 γc1 =v0     ⇒     c2= x0γ +v0

なので,初期条件を満たす解は次式となる.

x= { x0 +( x0γ +v0 )t } eγt     - - - (30)

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