単振動 : 位置 (postion),速度 (velocity),加速度 (acceleration)

角振動数 ω で単振動する質点の位置 x

x(t) = Acos ( ωt+α )     - - - (1)

と表すと,質点の速度 v

v(t) = dx dt = ωAsin (ωt+α)     - - - (2)

となり,質点の加速度 a

a(t) = dv dt = ω2 Acos (ωt+α)     - - - (3)

となる.このとき,加速度の式には位置 x と同じ表式  Acos ( ωt+α )  が含まれるので,加速度と位置の関係

a(t) = ω2 x(t)     - - - (4)

と表せて,加速度は位置 x に比例し,逆向きであることがわかる.単振動において,上式は常に成り立つ.

速度の式(2) および加速度の式(3) より,速度の大きさの最大値 vmax と加速度の大きさの最大値 amax はそれぞれ,

vmax =Aω amax =A ω2     - - - (5)

である.

A=1.0m ω=1.0 s 1 α=0 の場合について,位置 x m ,速度 v m/s ,加速度 a m/s2 のグラフを描くと下図のようになる.

図からも分かるように,位置と速度は位相が π/2 ずれ,位置と加速度は位相が π ずれている. 横軸に質点の位置 x をとり,時刻 t=0s から t=π s までの単振動のイメージを下図に示す.

水色の球が質点を表し,各位置における速度と加速度をそれぞれ赤矢印と緑矢印,および数値で示している.速度の大きさは原点で最大になり,加速度の大きさは振動の両端で最大となる.


他の表式においても, a=ω2x  が成り立つか否かを確かめてみる.位置を

x(t) = Asin ( ωt+β )

とすると,速度と加速度は

v(t) = dx dt = ωAcos (ωt+β) a(t) = dv dt = ω2 Asin (ωt+β)

となり, a=ω2x  が成り立つ.また,位置を

x(t) = A1 cosωt + A2 sinωt

とすると,速度と加速度は

v(t) = dx dt = ω A1 sinωt+ω A2 cosωt a(t) = dv dt = ω2 A1 cosωt ω2 A2 sinωt = ω2 ( A1 cosωt + A2 sinωt )

となり,同様に a=ω2x  が成り立つ.


式(1)では,振動の中心を原点( x=0 )としているが,振動の中心を任意の点 x=xC とすると,式(1)は

x(t) = Acos ( ωt+α ) +xC     - - - (6)

で置き換えられる. xC は定数であるので,速度 v と加速度 a の式は変わらない.この場合,式(4)は

a(t) = ω2 (xxC)     - - - (4)

と書き換えられる.よって,加速度は中心位置からの変位 xxC に比例し,変位と逆向きとなる.


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