単振動 ： 位置エネルギー (potential energy)

x 軸に沿って単振動する質量 m の質点の従う運動方程式

m d2 x d t2 =−cx     （ c ：正定数）     - - - (1)

より，質点には力 F=−cx が作用している．この力は質点の位置 x のみで決まる保存力であり， x= xb を基準点に選んだときの，この力による位置エネルギーは

U(x)= − ∫ xb x F(x)  dx =− ∫ xb x (−cx)  dx
         =12 c [ x2 ] xb x =12 c ( x2 − xb2 )     - - - (2)

となる．基準点の座標を xb =0 にとれば，位置エネルギーは

U(x) = 12 c x2     - - - (3)

である．逆に，この保存力は位置エネルギーから

F=− dU dx =−cx     - - - (4)

と求めることができる．また，単振動においては，質点に作用する力は保存力のみなので，質点の速度を  v= dx / dt  として，力学的エネルギー保存則

12 mv2 +U(x) =const.  （一定）     - - - (5)

が成り立つ．

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