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単振り子 : 力学的エネルギー保存則 (conservation of mechanical energy)

半径 L の円弧上を質量 m の質点が往復運動する単振り子について,円の接線方向における質点の運動方程式は

m dvt dt = mgsinθ     - - - (1)

と表される(導出).ここで, vt=L dθdt は速度の接線方向成分であり,式 (1) の両辺に vt をかけて整理すると

mvt dvt dt = mgLsinθ dθdt     - - - (2)

となる.式 (2) を時刻 t0 から t まで積分すると

m t0t vt dvt dt dt = mgL t0t sinθ dθ dt dt

となり,置換積分を行うと

m vt (t0) vt (t) vt dvt = mgL θ (t0) θ(t) sinθdθ     ⇒     12 m [ vt2 ] vt ( t0 ) vt (t) = mgL [cosθ] θ (t0) θ(t)

  ⇒     12 mvt2 (t) 12 mvt2 (t0) = mgLcosθ (t) mgLcosθ (t0)     - - - (3)

が得られる.重力による位置エネルギーの基準を点 O の高さにとると,式 (3) から力学的エネルギー保存則

12 mvt2 (t) mgLcosθ (t) = 12 mvt2 (t0) mgLcosθ (t0) = 一定     - - - (4)

が導かれる.第1項目が運動エネルギー K= 12 mvt2 ,第2項目が重力による位置エネルギー U=mgLcosθ である.時刻 t0=0 で質点は最下点 C に位置( θ(0)=0 )し,そのときの速度を vt (0) = v0 とする.重力による位置エネルギーの基準を最下点 C にとりなおすと,式 (4) より

12 mvt2 + mgL ( 1cosθ ) = 12 mv02     - - - (5)

が得られる.


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