単振り子 : 周期の厳密解 (excact solution of period)

鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した軽い棒の先端に質量 m の質点を取り付けた単振り子について,点 O から引いた鉛直軸 OC と棒とのなす角を θ とする(反時計回りに回転する角の向きを正にとる).

単振り子の角速度 Ω= dθdt を用いて,速度の接線方向成分を vt= Ldθdt =LΩ と表し,最下点 C での角速度の大きさを Ω0 とする.力学的エネルギー保存則より,最下点 C での運動エネルギーが最高点 Q と最下点 C との間の重力による位置エネルギーの差よりも小さい場合,つまり

12 m ( LΩ0 ) 2 <2mgL     ⇒     Ω0 <2 gL     --- (1)

の場合,単振り子は往復運動となり,大きい場合

Ω0 >2 gL     --- (2)

において,一方向に回る回転運動となる.また,等しい場合

Ω0 =2 gL     --- (3)

では,最高点 Q で速さが 0 になり静止する.ここで

k= Ω0 2 Lg     --- (4)

とおくと,式 (1) の場合は k<1 であり,式 (2) の場合は k>1 となる.各々の場合において,単振り子の周期 T は以下のように表される(式 (3) の場合 ( k=1 ),振り子は最高点 Q で静止するので周期は存在しない).

◆ 往復運動の場合   k<1

T=4 Lg K(k)     --- (5)         ⇒  導出

ここで, K(k) は第1種の完全楕円積分であり,次式で与えられる.

K(k) = 0 π/2 dφ 1 k2 sin2 φ     --- (6)

Ω0 が非常に小さい微小振動( k1 )の場合,上式において

1k2 sin2φ 1     --- (7)

と近似できるので,第1種の完全楕円積分の値は  K(k) 0 π/2 dφ =π2 となる.したがって,周期は T=4 L/g π2 =2π L/g となり,近似解における周期と一致する.

次に, k は小さいが無視できないとき,つまり,式 (7) のように近似できない場合を考える.式 (6) を k2 sin2φ に関して展開し,単振り子の最大の振れ角を θmax として,力学的エネルギー保存則から得られる関係式 k2 = sin2 θmax 2 を用いると,式 (5) は

T =2π Lg { 1+ (12) 2 sin2 θmax 2 + ( 13 24 ) 2 ( sin2 θmax 2 ) 2 + ( 135 246 ) 2 ( sin2 θmax 2 ) 3 + }     --- (8)

のように展開できる(詳細).したがって, θmax が小さい場合は最初の数項だけ考慮すればよい. sin θmax 2 θmax 2 と近似できるくらいの小さな振動では,式 (8) の第2項目までとって

T 2π Lg ( 1+ θmax2 16 )     --- (9)

と表せば十分である.

◆ 回転運動の場合   k>1

この場合,円周を1回転する時間が周期 T となり,第1種の完全楕円積分を用いて次式で表される.

T=2k Lg K (1/k)     --- (10)         ⇒  導出

k が大きい場合は, κ=1/k とおいて,式 (10) を

T =2 Lg { κ+ (12) 2 κ3 + ( 13 24 ) 2 κ5 + ( 135 246 ) 2 κ7 + }     --- (11)

のように展開し,最初の数項だけ考慮すればよい(詳細).

◆ 往復運動も回転運動もしない場合   k=1

この場合,質点が最下点 C ( θ=0 ) から角 θ の位置に到達するまでにかかる時間 t(θ) は次式で表される.

t(θ) = Lg tanh 1 ( sinθ2 )     --- (12)         ⇒  導出

式 (12) において, θπ の極限を考えると, lim θπ sinθ2 = sinπ2 =1 より

lim θπ t(θ) = Lg limx1 tanh1 x=

となる.つまり,質点が最高点 Q ( θ=π ) に達するには無限の時間がかかることになる.したがって,厳密には,質点は最高点 Q には限りなく近づいていくが,質点の速さは 0 に限りなく近づいていき,最高点 Q に到達することが出来ない.


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