単振り子 ： 周期の厳密解の導出 (derivation of excact solution of period)

この場合，角速度 Ω=0 となるような角 θmax (<π) が存在し，式 (6) より

k=sin θmax 2     - - - (8)

を満たす（式 (4) に対応している）．時刻 t=0 において θ=0 ， Ω= Ω 0 とすると， t=0 から質点が最初に角 θ= θmax に達するまでの時間が周期 T の4分の1である．この間は Ω>0 であるので，範囲 0≤θ≤ θ max において，式 (7) を積分すると

t = 12 Lg ∫0θ dθ k2 − sin2 θ2     - - - (9)

が得られる．ここで， sinθ2 =kz とおくと

dz dθ = 12k cosθ2 = 12k 1− sin2 θ2 = 12k 1−k2 z2

なので，置換積分を行うと式 (9) は

t= 12 Lg ∫0 z=1k sinθ2 1 k2− k2z2 2k 1−k2 z2 dz =Lg ∫0z dz ( 1− z2 )(1− k2z2 )     - - - (10)

となり，第1種の楕円積分の標準形で表される．さらに， z=sinφ とおくと dz=cosφdφ より

t= Lg ∫0 φ= sin−1z cosφdφ (1− sin2 φ)(1− k2sin2 φ) = L g ∫0φ dφ 1− k 2 sin 2 φ     - - - (11)

となる．式 (10) もしくは式 (11) において，角 θ= θmax に達するまでの時間（周期 T の4分の1）を考えると，式 (8) より z= 1k sin θmax 2 =1 ，および φ= sin−11 =π/2 より

T4 = Lg ∫01 dz ( 1−z2 ) ( 1−k2 z2 ) = Lg ∫0 π/2 dφ 1−k2 sin2 φ     - - - (12)

が得られる．第1種の完全楕円積分

K(k) = ∫01 dz ( 1−z2 ) ( 1−k2 z2 ) = ∫0 π/2 dφ 1−k2 sin2 φ     - - - (13)

の表記を用いると，周期 T は

T=4 Lg  K(k)     --- (14)

と表される．

Ω0 が非常に小さい微小振動（ k≪1 ）の場合，式 (13) において 1−k2 sin2φ ≈1 と近似できるので，第1種の完全楕円積分の値は  K(k) ≈ ∫0 π/2 dφ =π2 となる．したがって，周期は T≈4 L/g ⋅ π2 =2π L/g となり，近似解における周期と一致する．

k は小さいが K(k) において無視できない場合，展開式

1 1−x = (1−x) −12 = 1+ 12x + 12! ⋅ 322 x2 + 13! ⋅ 3⋅5 23 x3 +⋯ = ∑ n=0 ∞ ( 2n−1 )!! (2n) !!  xn        ( −1<x<1 )

および，ウォリスの公式

∫ 0 π/2 sin2n φ dφ = 2n−1 2n ⋅ 2n−3 2n−2 ⋅ 2n−5 2n−4 ⋯× π2 = π2 ( 2n−1 )!! (2n)!!

を用いて，

K(k) = ∫0π/2 ∑ n=0 ∞ ( 2n−1 )!! (2n) !!   ( k2 sin2φ ) n dφ = ∑ n=0 ∞ ( 2n−1 )!! (2n) !! k2n ∫0π/2 sin2n φ dφ = π2 ∑ n=0 ∞ { ( 2n−1 )!! ( 2n )!! } 2 k2n

と展開し，最初の数項をとればよい．したがって，式 (8) を用いて

T=4 Lg  ⋅ π2 ∑ n=0 ∞ { ( 2n−1 )!! ( 2n )!! } 2 ( sin2 θmax 2 ) n
   =2π Lg {  1+ (12) 2 sin2 θmax 2 + ( 1⋅3 2⋅4 ) 2 ( sin2 θmax 2 ) 2 + ( 1⋅3⋅5 2⋅4⋅6 ) 2 ( sin2 θmax 2 ) 3 +⋯  }     --- (15)

と表すことができる．

この場合，式 (6) より角速度 Ω≠0 なので，一方向に回転する．時刻 t=0 において θ=0 ， Ω= Ω 0 とすると，常に Ω>0 となる．往復運動の場合と同様に式 (7) を積分する際に， θ/2 =φ とおくと

t = 12 Lg ∫0θ dθ k2 − sin2 θ2 = 1k Lg ∫0φ dφ 1 − 1 k2 sin2φ     - - - (16)

が得られる． θ=0 から π までにかかる時間が周期 T の半分なので，式 (16) において θ=0 から π まで，つまり， φ=0 から π/2 まで積分すると

T2 = 1k Lg ∫0 π/2 dφ 1 − 1 k2 sin2φ     - - - (17)

となる．したがって，第1種の完全楕円積分の式 (13) の表記を用いると，周期は

T = 2k Lg   K ( 1/k )     - - - (18)

と表される． Ω0 が非常に大きく（ k≫1 ），式 (17) において 1− sin2φ /k2 ≈1 と近似できる場合，周期は

T≈ 2k Lg ⋅ π2 = πk Lg = 2π Ω0      ( ∵k= Ω0 2 Lg     )

と近似できる（一定の角速度 Ω0 で回転する等速円運動の周期と同じ）． 1/k は小さいが K ( 1/k ) において無視できない場合， κ=1/k とおいて，式 (15) と同様に展開すると

T=2κ Lg  ⋅ π2 ∑ n=0 ∞ { ( 2n−1 )!! ( 2n )!! } 2 κ2n
   =π Lg    {  κ+ (12) 2 κ3 + ( 1⋅3 2⋅4 ) 2 κ5 + ( 1⋅3⋅5 2⋅4⋅6 ) 2 κ7 +⋯  }     --- (19)

と表すことができる．

時刻 t=0 において θ=0 ， Ω= Ω 0 とし，式 (7) に k=1 を代入して積分すると

t = 12 Lg ∫0θ dθ 1− sin2 θ2 = 12 Lg ∫0θ dθ cosθ2 = 12 Lg ∫0θ cosθ2dθ cos2θ2 = 12 Lg ∫0θ cosθ2dθ 1− sin2 θ2

となり， x=sinθ2 とおいて置換積分を行うと， dx= 12 cosθ2 dθ より

t = 12 Lg ∫0 x=sinθ2 2dx 1− x2 = 12 Lg ∫0x ( 11−x + 11+x ) dx = 12 Lg   log 1+x 1−x = 12 Lg   log 1+sinθ2 1−sinθ2

が得られる．さらに， sinθ2 = −cos ( θ2 + π2 ) を用いて

t= 12 Lg   log 1−cos θ+π2 1+cos θ+π2 = 12 Lg   log sin2 θ+π4 cos2 θ+π4 = Lg  log tan θ+π4     --- (20)

が得られる．上式が θ=0 から θ までにかかる時間を表している．ここで， θ→π の極限を考えると， lim θ→π tanθ+π4 = lim x→π/2 tanx =∞ より t→∞ となるので，質点が最高点 Q ( θ=π ) に達するには無限の時間がかかることになる．さらに，式 (20) から

tanθ+π4 = e gL  t   ,    cotθ+π4 = e −gL  t

と表せること，および

tanx+cotx = sinx cosx + cosx sinx = sin2x + cos2x sinxcosx = 1sinxcosx

tanx−cotx = sinx cosx − cosx sinx = sin2x − cos2x sinxcosx = −cos2x sinxcosx

を用いると

coshgL  t = 12 ( e gL  t + e − gL  t ) = 12 ( tan θ+π 4 + cot θ+π 4 )

sinhgL  t = 12 ( e gL  t − e − gL  t ) = 12 ( tan θ+π 4 − cot θ+π 4 )

より

tanh gL  t = sinh gL  t cosh gL  t = −cos θ+π2 = sinθ2     --- (21)

が得られる．したがって，時刻 t における角度は

θ(t) = 2 sin −1 ( tanh gL  t )     --- (22)

で与えられる．また，その逆関数を考えると，式 (20) は

t(θ) = Lg   tanh −1 ( sinθ2 )     --- (23)

と表すこともできる．