等速円運動 ： 運動方程式 (equation of motion)

原点 O を中心として，半径 r の円周上を角速度 ω>0 （速さ v=rω ）で等速円運動する質量 m の質点の位置 r と加速度 a の関係は  a=− ω2r  である (*) ので，この質点の運動方程式は

ma = −mω2r = −cr  ，  c=mω2     - - - (1)

である．よって， 等速円運動する質点には，比例定数 c  (>0) で位置 r に比例した， r とは逆向きの外力 F=−cr が作用している．この力は，一定の大きさ

F=|F| = | −m ω2 r | =mr ω2 = mv2 r

をもち，常に円の中心を向いているので 向心力である（参照：中心力）．

ベクトル r ， a は一般に3次元空間のベクトルである．しかしながら，質点の原点 O のまわりの力のモーメントが

N= r×F =r× ( −cr ) =−c ( r× r ) =0

であるため，回転運動の法則は

dL dt =N=0

を満たし，原点 O のまわりの角運動量 L が保存する．よって，回転軸の方向（角運動量 L の方向）は時間に依らず常に一定の方向を向いており，円運動の回転面は固定されている．この回転面を xy 平面にとれば，ベクトル r ， a の z 成分は常にゼロなので，2次元の平面ベクトルと考えることができる．

加速度  a= d2 r/ d t2  の表記を用いると，等速円運動の運動方程式は

m d2r dt2 =−cr     - - - (2)

と表される．成分ごとに書くと

m d2x dt2 =−cx     ，     m d2y dt2 =−cy     - - - (3)

であり，各々独立した定数係数の2階同次線形微分方程式である． x 成分について，両辺を m で割り， ω2 = c/m  を用いて整理すると，

d2x dt2 + ω2 x =0     - - - (4)

が得られる．この微分方程式を解くと，その一般解が

x= Axcos ( ωt+αx )    （ Ax  ,  αx ： 任意定数）     - - - (5)

のように求まる．同様に， 成分について一般解が

y= Aycos ( ωt+αy )    （ Ay  ,  αy ： 任意定数）     - - - (6)

のように求まる．これらの任意定数は，半径 r の等速円運動であることを考えると，初期位相を θ0  として，

Ax = Ay =r   ，   αx = θ0   ，   αy = θ0 −π2     - - - (7)

となり，

x(t) = rcos( ωt+ θ0 )   ，   y(t) = rsin( ωt+ θ0 )     - - - (8)

が得られる．このことから，運動方程式(2)には等速円運動ではない解も存在することがわかる（等速円運動は式(2)を満たす解の特別な場合である）．

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