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等速円運動 (uniform circular motion)

物体が円周上を一定の速さで運動しているとき,その運動を 等速円運動 (uniform circular motion) という.

図のように,点 O を中心とする半径 r の円周上を一定の速さ v で運動する質点の位置を点 P とする.円運動の回転面を xy 平面にとり,平面の極座標(円座標) r θ を用いると点 P の位置ベクトルは

r = ( x , y ) = ( rcosθ , rsinθ )     - - - (1)

と表せる. θ +x 軸を基準の方向として測ったベクトル r の角度であり,点 P が円周上を回転しているので時間とともに変化する回転角を表す.

質点は一定の速さで回転していることから,回転角 θ(t) の時間変化率(単位時間当たりの回転角)を表す角速度 (angular velocity) ω  は

ω= dθ dt = const. (一定)     - - - (2)

であり,時刻 t=0 で回転角 θ(0) = θ0  とすると,式(2)を時間で積分することにより

θ(t) = ωt+ θ0     - - - (3)

を得る.したがって,式(1)の各成分は

x(t) = rcos( ωt+ θ0 )   ,   y(t) = rsin( ωt+ θ0 )     - - - (4)

と表される.三角関数の角度部分 ωt+ θ0  を 位相 (phase) といい,時刻 t=0  での位相 θ0  を 初期位相 (initial phase) という.


(注1)  通常,回転方向は反時計回りのみを考えて ω>0  であるが,時計回りの回転も考慮すると ω<0 の場合もありえる.

(注2)  角速度を回転軸方向を向いたベクトル ω  とする考え方もある(角速度ベクトル).この場合,ベクトル ω  の向きを進行方向とする右ネジの回る向きが,回転の向きに一致する.つまり,ベクトル ω  の先から回転面を見ると,必ず反時計回りの回転運動となる. ω  の向きを z 軸の正の向きとして, xy 平面を等速円運動する点の位置を表すと, x(t) = rcos( |ω| t+ θ0 )  ,  y(t) = rsin( |ω| t+ θ0 )  となる.

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