平面の極座標（円座標 ：circular coordinates）

2次元平面において，動径座標 r と角度座標 θ を用いて任意の点の位置を指定するとき， (r,θ) を平面の極座標(polar coordinates)もしくは円座標(circular coordinates)という．

図のように，平面の直交座標において，原点 O から点 P までの距離を r ， +x 軸から測った角度を θ とすると，平面の極座標 (r,θ) と平面の直交座標 (x,y) との間には

x=rcosθ ， y=rsinθ     - - - (1)

の関係がある．

0≤r<∞ 及び −π<θ≤π の範囲を考えると，平面上の任意の点を一意的に指定できるが，原点 (x,y) = (0,0) は角度が定まらず特異点 (r,θ) = (0,θ) となる．また， −π<θ≤π の場合には，平面の直交座標から平面の極座標への変換が

r= x2+y2     - - - (2)
θ= sgn(y) cos−1 ( x x2+y2 )     - - - (3)

で与えられる． θ の式における sgn は符号関数で， y≥0 ならプラス， y<0 ならマイナスの符号がつく．ただし，原点は特異点であり，式(3)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない．

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