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ロドリゲスの回転公式 (Rodrigues' rotation formula)

3次元空間において，原点 O を通る任意の回転軸（軸方向の単位ベクトルを ${\displaystyle n}$ とする）の周りに，位置ベクトル ${\displaystyle r}$ を角 ${\displaystyle \theta }$ だけ回転させた位置ベクトル ${\displaystyle r^{\prime }}$ は次式で表される．

${\displaystyle r^{\prime }=r\cos \theta +(1-\cos \theta )(r\cdot n)n+(n\times r)\sin \theta }$

この式を ロドリゲスの回転公式 (Rodrigues' rotation formula) という．上式を変形した以下の形式もよく用いられる．

${\displaystyle r^{\prime }=r+(n\times r)\sin \theta +(1-\cos \theta )\left\{n\times (n\times r)\right\}}$

        ⇒  ロドリゲスの回転公式の表現行列

【 導出 】

図のように，回転軸方向の単位ベクトル ${\displaystyle n}$ に垂直な回転面の中心を ${\displaystyle {\text{O}}^{\prime }}$ とし，位置ベクトル ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle r^{\prime }}$ の終点を ${\displaystyle \text{P}}$ , ${\displaystyle {\text{P}}^{\prime }}$ とする．回転面において ${\displaystyle {\text{O}}^{\prime }\text{P}}$ と垂直になるよう ${\displaystyle {\text{O}}^{\prime }\text{Q}}$ をとると， ${\displaystyle \text{P}}$ , ${\displaystyle {\text{P}}^{\prime }}$ , ${\displaystyle \text{Q}}$ は同じ円周上の点なので，

${\displaystyle \overrightarrow{{\text{O}}^{\prime }{\text{P}}^{\prime }}=\overrightarrow{{\text{O}}^{\prime }\text{P}}\cos \theta +\overrightarrow{{\text{O}}^{\prime }\text{Q}}\sin \theta }$

となる．したがって，以下の表記

${\displaystyle \overrightarrow{\text{O}{\text{O}}^{\prime }}=(r\cdot n)n}$
${\displaystyle \overrightarrow{{\text{O}}^{\prime }\text{P}}=\overrightarrow{\text{O}\text{P}}-\overrightarrow{\text{O}{\text{O}}^{\prime }}}$ ${\displaystyle =r-(r\cdot n)n}$
${\displaystyle \overrightarrow{{\text{O}}^{\prime }\text{Q}}=n\times \overrightarrow{{\text{O}}^{\prime }\text{P}}}$ ${\displaystyle =n\times \{r-(r\cdot n)n\}}$ ${\displaystyle =n\times r}$

を用いると

${\displaystyle r^{\prime }=\overrightarrow{\text{O}{\text{P}}^{\prime }}=\overrightarrow{\text{O}{\text{O}}^{\prime }}+\overrightarrow{{\text{O}}^{\prime }{\text{P}}^{\prime }}}$ ${\displaystyle =(r\cdot n)n+\{r-(r\cdot n)n\}\cos \theta +(n\times r)\sin \theta }$
${\displaystyle \phantom{r^{\prime }}=r\cos \theta +(1-\cos \theta )(r\cdot n)n+(n\times r)\sin \theta }$

が得られる．また，上式下段の右辺第2項目について，ベクトル3重積の公式より

${\displaystyle n\times (n\times r)=(n\cdot r)n-(n\cdot n)r}$ ${\displaystyle =(r\cdot n)n-r}$

  ⇒   ${\displaystyle (r\cdot n)n=n\times (n\times r)+r}$

なので，

${\displaystyle r^{\prime }=r\cos \theta +(1-\cos \theta )\left\{n\times (n\times r)+r\right\}+(n\times r)\sin \theta }$ ${\displaystyle \phantom{r^{\prime }}=r+(n\times r)\sin \theta +(1-\cos \theta )\left\{n\times (n\times r)\right\}}$

という形式も得られる．つまり ${\displaystyle \text{P}}$ から ${\displaystyle {\text{P}}^{\prime }}$ への変位ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{\text{P}{\text{P}}^{\prime }}}$ は

${\displaystyle \overrightarrow{\text{P}{\text{P}}^{\prime }}=r^{\prime }-r}$ ${\displaystyle =(n\times r)\sin \theta +(1-\cos \theta )\left\{n\times (n\times r)\right\}}$

となる．

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