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ロドリゲスの回転公式の表現行列 (representation matrix of Rodrigues' rotation formula)

3次元空間において,原点 O を通る任意の回転軸(軸方向の単位ベクトルを n とする)の周りに,位置ベクトル r を角 θ だけ回転させる回転行列を Rn (θ) とすると,回転後の位置ベクトル r

r = Rn (θ) r

と表される.直交座標系において,回転軸方向の単位ベクトルを n = ( n1 , n2 , n3 ) とすると,この回転行列は次式となる.

Rn (θ) = ( n12 ( 1cosθ ) +cosθ n1n2 ( 1cosθ ) n3sinθ n1n3 ( 1cosθ ) + n2sinθ n1n2 ( 1cosθ ) + n3sinθ n22 ( 1cosθ ) +cosθ n2n3 ( 1cosθ ) n1sinθ n1n3 ( 1cosθ ) n2sinθ n2n3 ( 1cosθ ) + n1sinθ n32 ( 1cosθ ) +cosθ )

【 導出 】

ロドリゲスの回転公式のベクトル表記より

r = rcosθ + ( 1cosθ ) ( r n ) n + ( n × r ) sinθ     --- (1)

である.ベクトル射影の表現行列より

( r n ) n = n nt r = ( n1 n2 n3 ) ( n1 n2 n3 ) r = ( n12 n1n2 n1n3 n1n2 n22 n2n3 n1n3 n2n3 n32 ) r

および,ベクトル積の表現行列より

n × r = [n] × r = ( 0 n3 n2 n3 0 n1 n2 n1 0 ) r

であるので,(1) は行列表現において

r = { cosθI + ( 1cosθ ) n nt + sinθ [n] × } r

と表せる( I は単位行列).したがって,

Rn (θ) = cosθI + ( 1cosθ ) n nt + sinθ [n] ×
       = cosθ ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) + ( 1cosθ ) ( n12 n1n2 n1n3 n1n2 n22 n2n3 n1n3 n2n3 n32 ) + sinθ ( 0 n3 n2 n3 0 n1 n2 n1 0 )
       = ( n12 ( 1cosθ ) +cosθ n1n2 ( 1cosθ ) n3sinθ n1n3 ( 1cosθ ) + n2sinθ n1n2 ( 1cosθ ) + n3sinθ n22 ( 1cosθ ) +cosθ n2n3 ( 1cosθ ) n1sinθ n1n3 ( 1cosθ ) n2sinθ n2n3 ( 1cosθ ) + n1sinθ n32 ( 1cosθ ) +cosθ )

が得られる.


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