ベクトル射影の表現行列 (representation matrix for vector projection)

ベクトル $r = (\begin{matrix} r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \end{matrix})$ のベクトル $a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ への射影は

$r_{a} = (r \cdot \frac{a}{| a |}) \frac{a}{| a |}$ $= \frac{(r \cdot a) a}{a^{2}}$ $= \frac{r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} + r_{3} a_{3}}{a^{2}} a$ $= \frac{1}{a^{2}} (\begin{matrix} (r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} + r_{3} a_{3}) a_{1} \\ (r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} + r_{3} a_{3}) a_{2} \\ (r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} + r_{3} a_{3}) a_{3} \end{matrix})$ $= \frac{1}{a^{2}} (\begin{matrix} a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & a_{1} a_{3} \\ a_{1} a_{2} & a_{2}^{2} & a_{2} a_{3} \\ a_{1} a_{3} & a_{2} a_{3} & a_{3}^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \end{matrix})$ $= A r$

のように表現行列 $A = \frac{1}{a^{2}} (\begin{matrix} a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & a_{1} a_{3} \\ a_{1} a_{2} & a_{2}^{2} & a_{2} a_{3} \\ a_{1} a_{3} & a_{2} a_{3} & a_{3}^{2} \end{matrix})$ $= \frac{1}{a^{2}} (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix})$ $= \frac{a {}^{t}a}{a^{2}}$ を用いて，1次変換として表せる．ここで， $a = | a | \neq 0$ とする．

ただし， $A$ は正則行列ではない（ $\det A = 0$ ）ので，この変換は正則変換（全単射）ではない．図において， $r$ の終点 $P$ が平面 $l$ 上のどこにあっても，この変換で点 $P$ は同じ点 $P^{'}$ に移る．

$A$ の固有値は 0 (重解)と 1 である．固有値が 0 のときの固有ベクトルは， $a$ に垂直な平面上の2つの独立なベクトルであり，固有値が 1 のときの固有ベクトルは $a$ に平行なベクトルである．

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