ロドリゲスの回転公式 (Rodrigues' rotation formula)

3次元空間において,原点 O を通る任意の回転軸(軸方向の単位ベクトルを n とする)の周りに,位置ベクトル r を角 θ だけ回転させた位置ベクトル r は次式で表される.

r = rcosθ + ( 1cosθ ) ( r n ) n + ( n × r ) sinθ

この式を ロドリゲスの回転公式 (Rodrigues' rotation formula) という.上式を変形した以下の形式もよく用いられる.

r = r + ( n × r ) sinθ + ( 1cosθ ) n× ( n×r )

        ⇒  ロドリゲスの回転公式の表現行列

【 導出 】

図のように,回転軸方向の単位ベクトル n に垂直な回転面の中心を O とし,位置ベクトル r , r の終点を P , P とする.回転面において OP と垂直になるよう OQ をとると, P , P , Q は同じ円周上の点なので,

OP = OP cosθ + OQ sinθ

となる.したがって,以下の表記

OO = ( r n ) n
OP = OP OO = r ( r n ) n
OQ = n × OP = n × { r ( r n ) n } = n × r

を用いると

r = OP = OO + OP = ( r n ) n + { r ( r n ) n } cosθ + ( n × r ) sinθ
r = rcosθ + ( 1cosθ ) ( r n ) n + ( n × r ) sinθ

が得られる.また,上式下段の右辺第2項目について,ベクトル3重積の公式より

n× ( n×r ) = ( nr )n ( nn )r = ( rn )n r

  ⇒   ( rn )n = n× ( n×r ) +r

なので,

r = rcosθ + ( 1cosθ ) n× ( n×r ) +r + ( n × r ) sinθ r = r + ( n × r ) sinθ + ( 1cosθ ) n× ( n×r )

という形式も得られる.つまり P から P への変位ベクトル PP

PP = r r = ( n × r ) sinθ + ( 1cosθ ) n× ( n×r )

となる.


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