ベクトル射影の表現行列 (representation matrix for vector projection)

ベクトル r = ( r1 r2 r3 ) のベクトル a = ( a1 a2 a3 ) への射影は

ra = ( r a |a| ) a |a| = ( r a ) a a2 = r1a1 + r2a2 + r3a3 a2 a = 1a2 ( ( r1a1 + r2a2 + r3a3 ) a1 ( r1a1 + r2a2 + r3a3 ) a2 ( r1a1 + r2a2 + r3a3 ) a3 ) = 1a2 ( a12 a1a2 a1a3 a1a2 a22 a2a3 a1a3 a2a3 a32 ) ( r1 r2 r3 ) =Ar

のように表現行列 A = 1a2 ( a12 a1a2 a1a3 a1a2 a22 a2a3 a1a3 a2a3 a32 ) = 1a2 ( a1 a2 a3 ) ( a1 a2 a3 ) = a at a2 を用いて,1次変換として表せる.ここで, a = |a| 0 とする.

ただし, A 正則行列ではない( detA=0 )ので,この変換は正則変換(全単射)ではない.図において, r の終点 P が平面 l 上のどこにあっても,この変換で点 P は同じ点 P に移る.

A の固有値は 0 (重解)と 1 である.固有値が 0 のときの固有ベクトルは, a に垂直な平面上の2つの独立なベクトルであり,固有値が 1 のときの固有ベクトルは a に平行なベクトルである.


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