符号関数 (sign function)

実数 ${\displaystyle x}$ に対して

${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{cc}1& (x>0)\\ 0& (x=0)\\ -1& (x<0)\end{array}\right.}$      --- (1)

のように定義される関数 ${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)}$ を符号関数 (sign function, or signum function) という．上式は ${\displaystyle x}$ を用いて以下のようにも表せる．

${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x}{\left|x\right|}& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}\right.}$      --- (2)

便宜上，次式のように定義される場合もある．

${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{cc}1& (x\ge 0)\\ -1& (x<0)\end{array}\right.}$      --- (3)

式(3)は以下のようにも表せる．

${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x}{\left|x\right|}& (x\ne 0)\\ 1& (x=0)\end{array}\right.}$      --- (4)

ヘヴィサイドの階段関数 ${\displaystyle H_c(x)}$ （ ${\displaystyle c}$ は ${\displaystyle x=0}$ のときの関数の値 ）を用いて表すと

式(1)  ⇒   ${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)=2H_{\frac{1}{2}}(x)-1}$      --- (5)
式(2)  ⇒   ${\displaystyle \mathrm{sgn}(x)=2H_1(x)-1}$      --- (6)

となる．

＜置換に対する符号＞

線形代数における行列式の定義などで出てくる置換 (permutation) に対して符号関数が用いられることがあり，その場合，置換 ${\displaystyle \sigma }$ が偶置換 (even permutation)か奇置換 (odd permutation) かによって，符号関数 ${\displaystyle \mathrm{sgn}(\sigma )}$ は以下のように定義される：

${\displaystyle \mathrm{sgn}(\sigma )=\left\{\begin{array}{cc}1& (\sigma \text{が偶置換のとき})\\ -1& (\sigma \text{が奇置換のとき})\end{array}\right.}$      --- (7)

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