面積分 (Area integral)

空間内のある領域にベクトル関数 ${\displaystyle F\left(r\right)}$ が定義されていて，その領域内に曲面 ${\displaystyle S}$ があるとする．曲面 ${\displaystyle S}$ 上の位置 ${\displaystyle r}$ において， ${\displaystyle S}$ に垂直な ${\displaystyle F\left(r\right)}$ の成分は，

${\displaystyle F_{\perp }\left(r\right)=F\left(r\right)\cdot n\left(r\right)}$

と表される．ここで， ${\displaystyle n\left(r\right)}$ は ${\displaystyle r}$ における曲面 ${\displaystyle S}$の単位法線ベクトルである．

曲面 ${\displaystyle S}$ 上における ${\displaystyle F_{\perp }\left(r\right)}$ の積分を， ${\displaystyle F\left(r\right)}$ の面積分として定義する． ${\displaystyle S}$ を ${\displaystyle n}$ 個の領域に分割し， ${\displaystyle i}$ 番目の微小領域の面積を ${\displaystyle \Delta S_i}$, 位置ベクトルを ${\displaystyle r_i}$ とすると，この微小領域からの面積分への寄与は，

${\displaystyle F_{\perp }\left(r_i\right)\Delta S_i=F\left(r_i\right)\cdot n\left(r_i\right)\Delta S_i}$

と書くことができる．これを ${\displaystyle i}$ について和を取ると曲面全体に対する和として，

${\displaystyle \sum _{i}F\left(r_i\right)\cdot n\left(r_i\right)\Delta S_i}$

が得られる．分割数 ${\displaystyle n\to \infty }$ の極限で，この和が分割の仕方によらずある一定値に収束するとき，

${\displaystyle {\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i}F\left(r_i\right)\cdot n\left(r_i\right)\Delta S_i={\int }_S^{}F\cdot ndS={\int }_S^{}F}\cdot dS}$

と書き，これを曲面 ${\displaystyle S}$ における ${\displaystyle F\left(r\right)}$ の面積分 (area integral) と呼ぶ．

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