斜面上での水平投射
図のように，水平と角度
θ
をなす斜面上の点
O
から質量
m
の小球を初速
v0
で水平方向に投げたところ，斜面上の点
P
に着地した．重力加速度の大きさを
g
とし，空気抵抗は無視できるものとする．以下の問いに答えよ．
(1)
点
OP
間の距離
OP
¯
を，
θ
，
v0
，
g
を用いて表せ．
解答
OP
¯
=
2
v
0
2
sinθ
g
cos
2
θ
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解説
右図のように，斜面下向きに
x
軸，斜面に垂直上向きに
y
軸をとると，初速度の
x
軸方向の成分は
v0cosθ
，
y
軸方向の成分は
v0sinθ
であり，重力加速度の
x
軸方向の成分は
gsinθ
，
y
軸方向の成分は
−gcosθ
である．このとき，時刻
t
での物体の位置
(x(t)
,
y(t))
は
x(t)
=
v0cosθ
⋅t
+12⋅
gsinθ
⋅t2
=
12
gt2
sinθ+v0
tcosθ
，
y(t)
=
v0sinθ
⋅t
+12⋅
(
−gcosθ
)
⋅t2
=
−12
gt2
cosθ+v0
tsinθ
と表される．
y=0
となる時刻を
t1
とすると
y
(t1)
=
−12
g
t12
cosθ+v0
t1
sinθ
=−
t1
12
g
t1
cosθ−
v0
sinθ
=0
なので，
t1
>0
より
t1=
2v0
sinθ
gcosθ
=
2v0
g
tanθ
と求まる．これを
x(t)
の式に代入すると，
OP
¯
=x
(t1)
=
1
2
g
(
2
v
0
g
tanθ)
2
sinθ+
v
0
(
2
v
0
g
tanθ)cosθ
=
2
v
0
2
sinθ
g
(
tan
2
θ+1
)
=
2
v
0
2
sinθ
g
cos
2
θ
を得る．
閉じる
(2)
点
O
から斜面下向きに
1.5 m
の位置に高さ
0.80 m
の薄い板を斜面に垂直に立てた．
sinθ=3/5
，
v
0
= 7.0 m/s
，
m=1.0 kg
，
g=9.8 m/s2
のとき，小球は板を超えるかどうか検証せよ．
解答・解説
(1)
の解説より，斜面下向きに
x
軸，斜面に垂直上向きに
y
軸をとると，時刻
t
での物体の
x
座標および
y
座標は
x(t)
=
12
gt2
sinθ+v0
tcosθ
，
y(t)
=
−12
gt2
cosθ+v0
tsinθ
である．
x=1.5
m
となる時刻を
t2
とすると
x
(t2)
=
1
2
⋅9.8⋅
3
5
⋅t22
+7.0⋅
4
5
⋅t2
=1.5
⇒
1
2
⋅9.8⋅
3
5
⋅(
t22
+2⋅
20
21
t2−
25
49
)=0
および，
t2
>0
より
t2
=−
20
21
+
(
20
21
)
2
+
25
49
=−
20
21
+
20
21
1+
9
16
=−
20
21
+
20
21
⋅
5
4
=
20
21
⋅
1
4
=
5
21
となる．時刻
t2
における小球の位置の
y
成分は
y(t2)
=−
1
2
⋅9.8⋅
4
5
⋅
(
5
21
)
2
+7.0⋅
3
5
⋅
5
21
=−
2
9
+1
=
7
9
=0.777⋯<0.80
であるので，板を超えることはない．
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2019年10月31日
