斜面上での水平投射

${\displaystyle \overline{\text{OP}}=\frac{2v_0^2\sin \theta }{g{\cos }^2\theta }}$

閉じる

${\displaystyle \text{(1)}}$ の解説より，斜面下向きに ${\displaystyle x}$ 軸，斜面に垂直上向きに ${\displaystyle y}$ 軸をとると，時刻 ${\displaystyle t}$ での物体の ${\displaystyle x}$ 座標および ${\displaystyle y}$ 座標は

${\displaystyle x(t)=\frac{1}{2}g{t}^2\sin \theta +v_{0}t\cos \theta }$ ，${\displaystyle y(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2\cos \theta +v_{0}t\sin \theta }$

である． ${\displaystyle x=1.5\text{m}}$ となる時刻を ${\displaystyle t_2}$ とすると

${\displaystyle x(t_2)=\frac{1}{2}\cdot 9.8\cdot \frac{3}{5}\cdot t_2^2+7.0\cdot \frac{4}{5}\cdot t_2=1.5}$
⇒   ${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 9.8\cdot \frac{3}{5}\cdot \left(t_2^2+2\cdot \frac{20}{21}{t}_2-\frac{25}{49}\right)=0}$

および， ${\displaystyle t_2>0}$ より

${\displaystyle t_2=-\frac{20}{21}+\sqrt{{\left(\frac{20}{21}\right)}^2+\frac{25}{49}}}$ ${\displaystyle =-\frac{20}{21}+\frac{20}{21}\sqrt{1+\frac{9}{16}}}$ ${\displaystyle =-\frac{20}{21}+\frac{20}{21}\cdot \frac{5}{4}}$ ${\displaystyle =\frac{20}{21}\cdot \frac{1}{4}}$ ${\displaystyle =\frac{5}{21}}$

となる．時刻 ${\displaystyle t_2}$ における小球の位置の ${\displaystyle y}$ 成分は

${\displaystyle y(t_2)=-\frac{1}{2}\cdot 9.8\cdot \frac{4}{5}\cdot {\left(\frac{5}{21}\right)}^2+7.0\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{21}}$ ${\displaystyle =-\frac{2}{9}+1}$ ${\displaystyle =\frac{7}{9}}$ ${\displaystyle =0.777\cdots <0.80}$

であるので，板を超えることはない．

閉じる