二等辺三角形の薄板の慣性モーメント

薄板の面積が S=ab なので，面密度 s は

s= M S = M ab

である．

右図のように y 軸方向に微小な幅 dy で分割すると， y 軸方向の位置が y である微小部分の質量 dm は

dm=s× 2a b y×dy= 2M b 2 ydy

である．よって x 軸まわりの慣性モーメントは

I x = ∫ M y 2 dm= ∫ 0 b y 2 × 2M b 2 ydy

       = 2M b 2 ∫ 0 b y 3 dy = 2M b 2 [ 1 4 y 4 ] 0 b

       = 2M b 2 × b 4 4 = M b 2 2

となる．


右図のように x 軸方向に微小な幅 dx で分割すると， x 軸方向の位置が x である微小部分の質量 dm は

dm=s×( b− b a | x | )×dx= M a 2 ( a−| x | )dx

である．よって y 軸まわりの慣性モーメントは

I y = ∫ M x 2 dm= ∫ −a a x 2 × M a 2 ( a−| x | )dx

       = 2M a 2 ∫ 0 a ( a x 2 − x 3 )dx = 2M a 2 [ 1 3 a x 3 − 1 4 x 4 ] 0 a

       = 2M a 2 ( 1 3 − 1 4 ) a 4 = 2M a 2 12 = M a 2 6

となる．

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