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等加速度直線運動の式の導出(積分で求める)

グラフ

時刻 t s での距離,速度,加速度をそれぞれ x( t )m v( t )m/s a( t )m/ s 2 とする.

物体が等加速度直線運動をしているとき,物体の加速度は一定 ( a=const )である. 初期条件を用いて積分することで(距離,速度,加速度の関係)任意の時刻 t s での距離 x( t )m と速度 v( t )m/s を導出することができる.

初期条件:時刻 t=0  s での速度を v(0)= v 0 m/s ,距離を x(0)= x 0 m とする.

( I ) 速度 v m/s は以下のように積分することで求めることができる.

v= adt =at+ C 1

t=0  s のとき v= v 0 m/s を上式に代入して C 1 = v 0 が得られる.

よって速度 v m/s

v= v 0 +at

と表される.

( II ) 距離 x m は以下のように積分して求めることができる.

x= vdt = v 0 t+ 1 2 a t 2 + C 2

t=0  s のとき x= x 0 m を上式に代入して C 2 = x 0 が得られる.

よって距離 x m

x= x 0 + v 0 t+ 1 2 a t 2

と表される.

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金沢工業大学

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