n質点系の重心(2次元)の導出(別解)
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2次元における n 質点系の重心の導出(別解)

2次元における3質点系の重心において,重心の座標を重心Gのまわりの3質点系のつり合い条件より導いた.

ここでは,異なる手法として,2質点系の重心の座標を繰り返し導出することで,3質点系の重心の座標を導く.

3質点の質量を m 1 kg m 2 kg m 3 kg とし,座標をそれぞれ ( x 1 , y 1 )m ( x 2 , y 2 )m ( x 3 , y 3 )m と置く.質点 m 1 kg と質点 m 2 kg の重心G'の座標を ( x G' , y G' )m とすると,2質点系の重心(2次元)より,

( x G' , y G' )=( m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 , m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 ) m

2質点 m 1 + m 2 kg の重心 ( x G' , y G' ) と,質点 m kg の座標 ( x 3 , y 3 )m に対する重心Gの座標 ( x G , y G )m は,2質点系の重心(2次元)より,

x G = ( m 1 + m 2 ) x G' + m 3 x 3 ( m 1 + m 2 )+ m 3 = ( m 1 + m 2 ) m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 + m 3 x 3 m 1 + m 2 + m 3 = m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 m 1 + m 2 + m 3 m

x G = ( m 1 + m 2 ) y G' + m 3 y 3 ( m 1 + m 2 )+ m 3 = ( m 1 + m 2 ) m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 + m 3 y 3 m 1 + m 2 + m 3 = m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 m 1 + m 2 + m 3 m

これは3質点系の重心(2次元)に等しい.

一般に, n 質点系の重心の座標も2質点系の重心の座標を n1 回繰り返し導くことで得られる.

重心の位置(2次元)
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金沢工業大学