微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={cos}^4\left(3x-2\right)}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\begin{array}{l}-12{cos}^3\left(3x-2\right)sin\left(3x-2\right)\end{array}}$

■ヒント

合成関数の導関数

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$

の式を用いる．

■解説

${\displaystyle y={\cos }^4\left(3x-2\right)}$

●別解

${\displaystyle y={\cos }^4\left(3x-2\right)}$

を

${\displaystyle y=u^4}$，${\displaystyle u=\cos \left(3x-2\right)}$  

とおく．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3}$  

${\displaystyle \frac{du}{dx}}$ の計算は再び合成関数の微分をする．

${\displaystyle u=\cos \left(3x-2\right)}$

を

${\displaystyle u=\cos s}$  

${\displaystyle s=3x-2}$  

とおく．

${\displaystyle \frac{du}{ds}=-\sin s}$

${\displaystyle \frac{ds}{dx}=3}$  

よって

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{du}{ds}\cdot \frac{ds}{dx}}$${\displaystyle =\left(-\sin s\right)\cdot 3}$${\displaystyle =-3\sin \left(3x-2\right)}$  

したがって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$

${\displaystyle =4u^3\left\{-3\sin \left(3x-2\right)\right\}}$  

${\displaystyle =-12{\left\{\cos \left(3x-2\right)\right\}}^3\sin \left(3x-2\right)}$  

${\displaystyle =-12{\cos }^3\left(3x-2\right)\sin \left(3x-2\right)}$  

■備考

上の計算より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{du}{dS}\cdot \frac{dS}{dx}}$  

である．よって 

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dS}\cdot \frac{dS}{dx}}$  

となる．この式を用いると

${\displaystyle y={\cos }^4\left(3x-2\right)}$  

を

${\displaystyle y=u^4}$  

${\displaystyle u=\cos s}$  

${\displaystyle s=3x-2}$  

とおく．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=4u^3}$  

${\displaystyle \frac{du}{ds}=-\sin s}$  

${\displaystyle \frac{ds}{dx}=3}$  

よって

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\left(4u^3\right)\left(-\sin s\right)\cdot 3}$

${\displaystyle =4{\left\{\cos \left(3x-2\right)\right\}}^3\left\{-\sin \left(3x-2\right)\right\}\cdot 3}$  

${\displaystyle =-12{\cos }^3\left(3x-2\right)\sin \left(3x-2\right)}$  

となる．

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最終更新日： 2021年3月22日