次の問題を微分せよ.
y= ( 5x+1 ) 5 ( x 3 −4 ) 4
y ′ = − ( 5x+1 ) 4 ( 35 x 3 +12 x 2 +100 ) ( x 3 −4 ) 5
対数微分法を用いる.
y = ( 5x+1 ) 5 ( x 3 −4 ) 4
対数微分法を用いて計算する.両辺の絶対値の自然対数をとると
log| y |=log| ( 5x+1 ) 5 ( x 3 −4 ) 4 |
となる.微分しやすいように,対数の性質を用いて式を変形する.
= log ( 5 x + 1 ) 5 ( x 3 − 4 ) 4
=log| ( 5x+1 ) 5 |−log| ( x 3 −4 ) 4 |
=5log| 5x+1 |−4log| x 3 −4 |
両辺を xで微分する.
d dx logy = d dx 5log 5x+1 −4log x 3 −4
1 y · dy dx =5 · 5 5x+1 −4 · 3 x 2 x 3 −4
dy dx =y · ( 25 5x+1 − 12 x 2 x 3 −4 )
= ( 5x+1 ) 5 ( x 3 −4 ) 4 ( 25 5x+1 − 12 x 2 x 3 −4 )
= ( 5 x + 1 ) 5 ( x 3 − 4 ) 4 { 25 ( x 3 − 4 ) − 12 x 2 ( 5 x + 1 ) ( 5 x + 1 ) ( x 3 − 4 ) }
= ( 5x+1 ) 5 ( x 3 −4 ) 4 { − 35 x 3 +12 x 2 +100 ( 5x+1 )( x 3 −4 ) }
=− ( 5x+1 ) 4 ( 35 x 3 +12 x 2 +100 ) ( x 3 −4 ) 5
関数の商の微分の公式を使って計算する.
y ′ = { ( 5x+1 ) 5 } ′ ( x 3 −4 ) 4 − ( 5x+1 ) 5 { ( x 3 −4 ) 4 } ′ { ( x 3 −4 ) 4 } 2
= { 25 ( 5x+1 ) 4 } ( x 3 −4 ) 4 − ( 5x+1 ) 5 { 12 x 2 ( x 3 −4 ) 3 } ( x 3 −4 ) 8
= 25 ( 5x+1 ) 4 ( x 3 −4 ) 4 −12 x 2 ( 5x+1 ) 5 ( x 3 −4 ) 3 ( x 3 −4 ) 8
= ( 5x+1 ) 4 ( x 3 −4 ) 3 { 25( x 3 −4 )−12 x 2 ( 5x+1 ) } ( x 3 −4 ) 8
= ( 5x+1 ) 4 ( 25 x 3 −100−60 x 3 −12 x 2 ) ( x 3 −4 ) 5
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最終更新日: 2023年10月9日
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